Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
условия
dpP" Р2 = dim фр1' р2,
^'¦рг=(r) j j уЩй)(r) Е с< (3,2,3)
г г
¦р" - аа' " "Г Х2
?Pip2 gPM г, T,iT;
Индексы ст, а, т, х\, х2 являются параметрами вырождения. В дальнейшем
для каждого из случаев I - IX (см. табл. 3.1) мы выпишем неприводимые
унитарные представления, входящие
208 м- ШААФ
1 2
в представление U ' , а также их кратности. Согласно формуле
(3.2.2), коэффициенты Клебша - Гордана построены из матричных элементов
представлений малых групп. Поэтому мы указываем формулы гл. 2, где дан
явный вид этих матричных элементов. Будем использовать то обстоятельство,
что индексы х для появляющихся обычно классов эквивалентности р и а
совпадают, и часто будем писать ст = р или ст = А вместо ст = (х, р) или
а = (х, Я).
° °
I. р, =/л,е(0), Р2 = т2е(оу Согласно табл. 3.1, область имеет вид
Qi = \те{о) : т. ^/Л[ + m2). (3.2.4)
Поэтому Gl = G2 = G(p) = SU (2), G (р, q) = H{. При рг = (хг, /г),
i е (1, 2} имеем
^i, р, = {(^> Vi):< = Kr 4<li}-
Индексы т опущены. Области щф2 и определяемые под-
становкой (3.1.43), заданы следующим образом:
y^Xi/L,________
= {(х, р) : х = X! + х2 - 2xix2, -l\- Ki/2 - /2 - х2/2 ^ р + х/2 ^ /1 +
Х[/2 + /2 + х2/2) ,
(3.2.5)
= {(х, р) : х = х,, шах(-/]-Х|/2, р+х/2 - /2-х2/2) ^
^ р xi/2 ^ min (/] -f- xj/2, р -j- х/2 -j- l2 -j- x2/2)}.
Так как, кроме того,
G (р)и, " = SU\2)х, " = {(х', /) : х' = х, / + х/2 > |р + х/2 |}, (3.2.6)
то по формуле (3.1.53) получаем
G (р)*,1и = {(х, /): х = xi + х2 - 2x^2, / ^ 0},
ВДгхл ={(*', р):х' = х, (3.2.7)
max(-/-х/2, -l{-xt/2 -/2 -х2/2)^
^ х/2 ^ min (/ х/2, /j Xj/2 /2 х2/2)}.
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 209
Кратность, с которой входит представление UP'K'' в U1'2, согласно формуле
(3.1.52), равна
min (I, h+h+y-xK'i)
dy\u 22= 2 [min(/i, р + /2 + х2- XjX2) -
ц=шах(-/-и,
-шах(-1\ - у.\, р -• /2 - xix2) + 1] =
(21 -J- х) -1 min (2/| -f- Xj -j- 1, 2/2 -Ь х2 -Ь 1)
при / х/2 ^ | /2 х2/2 - li - Xj/2 |,
(2/! + Xj + 1) (2/2 + x2 + 1) -
-(Z+x/2-/,- x,/2-/2 - x2/2) (/ + x/2-/, -x,/2-/2-x2/2-1) при | l2-\-
'&2l2-/j-Xj/2 | ^/-{-x/2 ^ /2 -f- y,2]2 /j -f-Xj/2,
(2/j+Xj +1) (2/2+х2тЬ 1) при /+х/2 >/1+x1/2-)-/2+x2/2. (3.2.8)
Коэффициенты Клебша - Гордана имеют вид
С!" W ^-^'й(л(АГ?)их
рр
PIPI Р2Р2
X Us'uw (R (Рй А (р, ?))-1 W. ^ (2) ("(Р2; А (р, д)УХ-ц. (3.2.9)
а матричные элементы группы SU (2) выписаны в формуле (2.2.4).
° °
II. Pj = ^i^(0)> Рг= е(0) е(з)* Область йп по табл. 3Л имеет вид
йп = {те(0) :/">/"!}. (3.2.10)
Поэтому Gj = G (р) = SU(2), G2 = ?(2), G(p,q) = H\. Классу р, = (xj, 1{)
отвечает
^i,p, = {W* Pi):*[ = *i> - р, </,}.
Что касается представлений группы Я(2),то мы различаем два случая: а) р2
= (>с2, р0) и Я, Р2={(к2, Р0)} для одномерных представлений и
б) Р2 = (хг, Р) и Я1р = {(х?, р2): х' = х2, - оо < ц2 < оо}
210 М. ШААФ
для бесконечномерных представлений. Подстановкой (3.1.43) получаем
области
а) яГ''"ИЛ =
= {(х, р)". х = у.\ + х2 - 2x^2, Ро + Кг/2 - - х,/2
^ р + х/2 <^р0 + х2/2 + /j + Xi/2),
_ (й> д) ; jj = "" Д = р - р0 - Х|Х2}, ^3'2'1 ^
б) я1''г',ИгР= |(х, р) :x = Xj +х2 - 2xiX2, - оо < р < оо),
НипГгР = {(й, р) • Й = X), - /) - Щ < Р < Л).
Так как
Gfp^^SUP)*, "={{*', /) : х' = х, />|р + х/2|-х/2}, (3.2.12) то
соотношение (3.1.53) дает
а) G (р)*1,ь *г1*° = {(х, /): х = Х| + х2 - 2x^2,
I ^ шах (0, | ро + Хг/2 J - /, - Xj/2 - х/2)}, р)--х, = х,
гпах(-/ - х/2, ро + Хг/2 - /,-х,/2)<^ (3.2.13)
р + х/2 <}min(/ + х/2, р0 + Хг/2 + /, + Х|/2)},
б) G *2р = ((х, /): х = X! + х2 - 2х!х2, / > 0},
= {(х', р}: х' = х, - / - х<р</}.
Согласно формуле (3.1.52), кратность представления равна
а) Йг,'ил =
2/+х+1 для x/2</ + x/2</!+Xi/2- | р0+х2/2 |,
I + х/2 + h + >"i/2-| Ро + Кг/2 I 1 Для Л +Й1/2-•
-I Ро + х2/2 К / + х/2 < /, + х,/2 +1 ро + х2/2 I, ( 4)
2/j + X] + 1 для / + х/2 /] + xt/2 + | ро + >й2/2 |;
б) ^/'•ИгР = (2/1 + х1+1)(2/+х+1).
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 211 Коэффициенты
Клебша - Гордана имеют вид
причем матричные элементы группы SU (2) даны в формуле (2.2.4), а
матричные элементы группы Е(2) - в формулах (1.4.13) и (2.4.4).
О о
III. р1 = /п,е(0), р2 = л2е(3). Область йш, согласно табл. 3.1, имеет
вид
Qm= [mew : т > 0} (J [пет : п > 0} (J (е(0) + е(3)}. (3.2.16)
Напомним, что множества {±е(0), ± е(3)) и (0) с в дальнейшем можно не
рассматривать, так как в интегральном разложении (3.1.60) пространства
|>1,2 они имеют нулевую меру.
III. 1. ре [шею) : т > 0}. При этсм Gl = G(p) = SU (2), G2 =
= SU (1, 1), G(p, q) = H{. Для класса pj = (xb l{) имеем Я1>Р1 = = {(x(,
p,): x( = x,, -- x, <p, i^}. Что касается представлений группы SU (1, 1),
то мы различаем 2 случая:
а) Р2 = ("2* 12' °)> ^ 1, В, = {(Х2> Р2) : *2 = Х2> - °° < < °°}
для основной и дополнительной серий и
б) р2 = (х2, 12, ±).
для дискретной серии. Подстановкой (3.1.43) получаем области
a) Hfl!u *2,г0 = {(х, р) : x = xi +х2-2xix2, -оо < р < оо),
О
О
о
(3.2.15)
Н\. р2 = ((Х2. Рг) : Х2 = "2. ± ОЧ + 1/&2) >12+ Ч&2 + 1}
б) ЯГ" !± = {(х, р) : X = X, + Х2 - 2х!Х2,
