Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
центром в начале координат, со (?) = SO (2) ?, так как у} (e~i<(z) =
%?ехр (!'ф> (z).
III. Разбиение группы С на орбиты характеризуется следующим множеством
представителей:
С = (J <о(р), (c) = (c)+U со0, 0+ = (р: р > 0}, 0° = {0}. (1.4.5)
ре(r)
132 м ШААФ
IV. Малая группа G(p) (где реи) определяется из условия XP(e-"<p z) =
xp(z) для любых е'1^ е G (р) и геС. В результате
pG0+:C(p) = Z2=(l,-I), р е со0: G (р) = G (0) = SO (2). (1,4'6)
V. Левые классы смежности, SO (2)/G (р), отвечающие Jsa (р), р > 0,
представляются величиной ехр (7(^/2), где (ps=arg!;, 0<ф;<2я, так как
очевидно rf (р) = ?. Случай р = 0 тривиален.
VI. Неприводимые унитарные представления группы Z2 имеют вид
Z2 э е Uz2 (е) = еи, к = 0, 1. (1.4.7)
Группа G(0) = SO(2) имеет представления
SO (2)з eivl2 U№(2) (eW) = el {р+т\ (1.4.8)
к = 0, 1; р = 0, ± 1, ... .
VII. Таким образом, для группы G(p)=G(p) (c)Сс?(2) мы получаем
представления
Р е= со+ : G (р) =э (е, г) Uq ^ (в, г) = е\р (г), к = О, 1,
реш°:С(0)э(е'ф/2, z)^u^(e^\ 2) = емв+вдФ> (U>9)
у. = 0, 1; р - 0, ± 1, ... .
VIII. При р>0 вводим гильбертово пространство
2л-------
№"-(r)J у -f - SSwO"1') (1-4.Ю)
как прямой интеграл одномерных гильбертовых пространств-•?>ё (р) (?) = С.
Скалярное произведение в этом пространстве есть
2 Л
(fig)(tm)**! (1.4.11)
о
При р = О интеграл отсутствует, так как со(0) состоит из одной точка.
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 133
IX. Для р>0 индуцированные представления группы Е{2) имеют вид
(ВД)(егФ/2, z)/)(?) = в(?, ФГе'Ке^(е~'\),
и = 0, 1; | S | = р;
(+1, при и 2я + фг;<ф<4я,
1 ^ ^ I о (1.4.12)
- 1, при фе<ф<ф? + 2я,
а при р = 0
и'в&Че1*12, г) = е1*+т9, х = 0, 1; ц = 0, ±1, ±2, ....
(1.4.13)
Для описания безмассовых частиц обычно используют одномерные
представления второго типа. При этом представление абелевой инвариантной
подгруппы (1, С) с: EJ2) тривиально.
Не очень удобная форма представления Upe <\ в формуле (1.4.12) может быть
исправлена с помощью унитарного преобразования
т*: f-+x*f, (т*[)(?) W*V2f(?) (1.4.14)
в гильбертовом пространстве $). Представление
UPE&^T*UPE&Tnf, (1.4.15)
эквивалентное представлению Ue'(2>, имеет явный вид (UK V"2, г) f) (0 =
exp [if + i Ке й-г)] f (е~'\),
* = 0, 1; | J | = р. (1.4.16)
1.5. НЕПРИВОДИМЫЕ УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ SL (2, С)
Неприводимые унитарные представления группы SL(2, С) были впервые
установлены Гельфандом и Наймарком [17]. Кратко опишем теорию
представлений группы SL(2, С); детали можно найти в монографии Наймарка
[18].
Определим преобразование из группы SL(2, С) в замкнутой комплексной
плоскости С следующим образом:
SL (2,С) э A: г + f1 , z е= С. (1.5.1)
гл12 "Г ^22
Квазиинвариантная мера в пространстве С имеет вид (с точностью до
эквивалентности)
dp (z) = д-1 (1 -j-1 z f)~2dxdy, z - x-\-iy, (1.5.2)
134 м. ШАЛФ
и производная Радона-Никодима равна
*?SZEl =| zAl2 + Л22 Г4 f-1 + 1 -|2 )2. (1.5.3)
d|i(z) \\+\zA\4 1 '
Неприводимые унитарные представления группы SL(2, С) могут быть
реализованы в пространстве комплексных функций на С (см. [18]). Они имеют
вид
(Usik'c) (Л) /) (z) = Vdy, (zA)/dp (z)1+a (-j^" + f (гА),
(1.5.4)
hg{0, 1}; ре {0, ±1, ±2, ...}; XeR[J{- Й; 0<t < 1}.
Существуют следующие серии представлений:
1. Основная серия. Она состоит из представлений Usl^q с AgR, реализуемых
в гильбертовом пространстве '&si,i(2.1c)='§> со скалярным произведением
I 5>sm2. с) Н" dP (z) f (ZY 8 (*)• (1-5.5)
с
2. Дополнительная серия. Она состоит из представлений Usu2,°с) с Я =- it,
0 < 7 < 1, реализуемых в гильбертовых пространствах с) со
скалярными произведениями
^ I g)sL(2°С) = / J dP iz') dP (z) f (z'y Kh iz', z) g (z),
cxc (1.5.6)
T(iX)Ki(z', z) = ((1 + ^z, |2)(1 !|. | z|2))
Представления U*l(2,'c) и Uslv,1с) эквивалентны тогда и только тогда,
когда (%', Я', р') = (к, Я, р) или (%', Я', р') = (я, - Я, - р - к).
Известные конечномерные неунитарные представления группы SL(2, С) могут
быть реализованы в линейных пространствах
L1" /: = ( / : С -* С : / (z) = (1 + I z 2 X
I п=0
2/2 л 1
XSw^z* , аП'Пе=С|, /ь /2 = 0, '/г, I, 3/г, ••• • л=0 J
Они имеют вид, указанный в формуле (1.5.4) при Я = = t(l+/i + /2) и р +
72х =- /2.
2. Матричные элементы неприводимых унитарных представлений малых групп
и теоремы разложения для квадратично интегрируемых функций на классах
смежности малых групп
В этой главе будут выведены необходимые для гл. 3 теоремы разложения для
квадратично интегрируемых функций на некоторых классах смежности малых
групп. Эти классы смежности определяются подгруппами
H^SU(2)[]SU(l, l) = S?/(2)fl?(2) = ?(2)nS?/(l, 1),
#2== SU (1, 1) f) SL (2, R). (2.1)
Прежде всего мы решим проблему редукции для сужения пред-
О 0 0 О
ставления малой группы Ua, G е {G (р) : р е Q, Я cG(p)} ца подгруппу Я,
#<={#1, Я2}, где р - параметр, пробегающий множество G всех классов
эквивалентности неприводимых унитарных представлений группы G. Так как
все обсуждаемые здесь группы - группы типа I (по классификации Макки
