Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
О
V. Левое фактор-пространство SL(2, C)jG(p) гомеоморфно
О
орбите Q(p). Из левого класса смежности, соответствующего рей (р),
который состоит из всех элементов А е SL (2, С), таких, что А(А)р = р,
выберем представитель А(р). Если мы
О
параметризуем массовые оболочки, принадлежащие рфО, следующим образом:
( ± m(ch%e(0) + shxe(0, <р)), 0<х<°° для рей(±те(0)), р = I n(shxe(0) +
chxe(e, ф)), - оо < % < оо для pGQ(ne(3)), I ±ex(el0) + e(Q, ф)), - оо <
% < оо для рей(±(е(0)+е(3))),
(1.1.8)
е(0, 9) = sin6(cos9e(i) + sin9e(2)) + cos6e(3), 0<6<л, 0<ф<2л, то в
качестве соответствующих представителей можно выбрать А(р) = А(в, ф)Л(х),
А(9, ф) =
Л(%) =
e~''r sin -j 0
(1.1.9)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 117
Элемент Л(х) выполняет чистое лоренцево преобразование в плоскости (0,3)
со скоростью thx, Л(0, ф) - кратчайший поворот,
О
переводящий е(3) в направление р. Случай p - Q тривиален, так как фактор-
пространство SL{2, C)/G(0) состоит только из одного элемента.
VI. Для каждой малой группы устанавливаем систему представителей классов
эквивалентности всех неприводимых унитарных представлений Индекс
р характеризует различ-
ные классы. Пусть $Ра (° - гильбертово пространство, в котором действует
представление UpG(°y Явный вид системы {До(°,} будет дан в пп. 1.2-1.5.
s" О О л,
VII. Для подгруппы G (р) = G (р) (c) R4 cz Р теперь можно построить в
пространстве $>Ра{^ представление
8(р)э(Л, a)-*u\$p)(A, а) =%р (a) Up0(op) (Л). (1.1.10)
о о
VIII. Для рфО определяется мера на множестве Q(p), инвариантная
относительно группы SL(2, С):
Г d0>o(p)^ f (1.1.11)
р -о 2[р[
О(р) С(Р)
С помощью этой меры определяется прямая интегральная сумма гильбертовых
пространств (°((р) = (°):
j /d^jp)$pGi°p)(P). (1.1.12)
О(Р)
0 о
Пространство &р,р состоит из векторных функций ф: 0(р)-> ~*&G(p) со
скалярным произведением
(ф|ф)р,р= J й(c)(r)(р)<Ф(р)|ф(р))^((r)), (1.1.13)
О(р)
где скобками обозначено скалярное произведение в про-
странстве $ра(°у Для р = 0 имеем $>0,0 = $>qт', скалярное произведение
<Ф1ф>°'Р = <Ф1ф>о(о)- (1.1.14.)?
118 М. ШААФ
**6 0
IX. Представление (1.1.10) подгруппы G(p) при рф 0 в про-
о
странстве фр,р индуцирует следующее представление группы Пуанкаре *):
(U°P'P(A, а) яр)(р) = Uо( (R (р) А), Л(ц)-1 а) яр (л (Л)-1 р) =
= eip'aUpG{°p)(R(p-, А)) ф (Л (Л)"1 р), (1.1.15)
л (р) = л (Л (/>)), р = А(р)°р, R(p; А) = А(р)-1АА (А(А)-'р).
о
Для р = 0 вместо (1.1.15) мы имеем представление
U°'p {A, а)ф=?/рО(0,ф 0.1.16)
группы Р в пространстве Фо(0). При этом представление тран-. сляционной
нормальной подгруппы R4czP тривиально.
Общие результаты Макки гарантируют, что
а) каждое неприводимое унитарное представление группы Р эквивалентно
одному из построенных выше представлений Up'p;
о о
б) два представления Up-p и Up,-p', полученные указанным образом,
эквивалентны в том и только в том случае, если
р = р', Р = Р'-
Таким образом, задача отыскания всех неприводимых унитарных представлений
группы Пуанкаре Р сводится к задаче построения всех неприводимых
унитарных представлений малых групп.
1.2. НЕПРИВОДИМЫЕ УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГРУППЫ SU (2)
Теория представлений группы SU (2), универсальной накрывающей для группы
вращений трехмерного пространства, была известна физикам уже вскоре после
возникновения кван-
¦) Выбор представителей А (р) в формулах (1.1.8) и (1.1.9) приводит здесь
к так называемым спиральным представлениям. Если А =
= ехр ("§"ау)д) ~ поворот вокруг оси импульса, то R(p; А) - exp acr3j -
поворот вокруг оси е3. Поэтому если, как обычно, выбрать базис
представлений малых групп, в котором диагональны вращения вокруг оси то в
индуцированном представлении группы Р будут диагональными вращения вокруг
оси импульса. При этом спиральность является проекцией углового момента
на эту ось.
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ Ц9
товой механики. Поэтому здесь мы будем кратки, используя ссылку на
обзорную статью Баргмана [15].
Унитарное представление группы SU (2) определяется в гильбертовом
пространстве ¦?> целых аналитических функций двух комплексных переменных
со скалярным произведением
(f\g)^ J d\i{zu z2)f{zu zj'g(zu z2), с2
d\i {zu z^ = z> I2 ~ I г* I3 dXi dyx dx2dy2,
(zu z2) = {xx + iyu x2 + iy2) <= C2 (1.2.1)
следующим образом:
SU(2)3A-+U(A):(U(A)f)(zu z2) =
- I (Z\A\\ + z2A2\, Z[A[2-\- z2A22). (1.2.2)
Разложим пространство ¦?> в прямую сумму конечномерных подпространств
всех однородных полиномов степени 21 + х,
$>s'u <2>:
¦?> = (c) $>s'u (2>; $>s'u (2) == {/ s ¦?> : / (azh az2) = a2l+nf (zu z2)}.
(1.2.3)
x=0,l /=o,i . ..
Представление U разлагается в прямую сумму неприводимых представлений
SU (2) э А ->• U*'u (2) (A) = U {А) \ $su (2), " = 0,1; 1 = 0, 1, 2.
(1.2.4)
Каждое неприводимое унитарное представление группы SU (2) эквивалентно
одному из представлений t/si/(2). При этом Us и1 (2> и Usu(2)
эквивалентны тогда и только тогда, когда х = х' и 1 = 1'.
Обычно вместо пары (к, I) используют квантовое число углового момента j =
