Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
(°*suii.+i) (D <е' D) h) W = 1 (". D f + W, (2.5.30)
так что для сужения U*'J\ i*i>|#2 мы имеем разложение + 00 +00
?+=0 J уж С, ?/?^1.+1)|я2 = е J dvf\ (2.5.31)
- оо -оо
Таким образом, неприводимое унитарное представление
х, U + 1
группы #2 содержится в сужении U'sud.mH* один раз, только если х' = х.
Унитарность преобразования, осуществляемого ядрами lk(z), выражается в
виде соотношений [см. также формулу (А.8)]
| d\iK-1 (z) (z)* \ (г) = 6 (Я' - Я),
1<1
J йЯш+, я, (z') ш+, \ (г)' = /(х' 1' + (г', г),
V / 4-
где /( ' ' -воспроизводящее ядро в пространстве vsud, i),
определенное в формуле (1.3.52). Для преобразования между пространствами
Ф^ии,11!) и §T1 = 2>2(R), осуществляемого предельными значениями
(2.5.21), получаем отсюда следующие соотношения унитарности:
2ЙГ $ ДГ ^ = 6 - Л),
(2.5.33)
| dXw& -г-х-'(^-).
154 М. ШААФ
Единая формулировка решения проблемы редукции для сужения Us'ulh 1) I Я2
получается путем надлежащего унитарного
_ х, /, о ~ ~
отображения гильбертовых пространств ,5>st/(lj ^ и на
гильбертово пространство
+ QO +00
§ = 0 J Ydxс2, (Figr=2 J ь g^$>-
- оо T=s± -оо
(2.5.34)
Матрица второго порядка
д;Х, I ___ Г(1 + / + х/2 + /Л)
W= - - Х
ег('+1+Т+л)'Т е~'1{1+1+т+а)т'
XI ч , | (2.5.35)
г~1{1 + 1+Т+а)т Д1+г+Т+Л)т
несингулярна при любом комплексном I, за исключением точек - iA- 7г к +
л, п = 0, d=l, ±2, так как
det N*' 1 (А) = • (2-5>36)
Следовательно, согласно формуле (2.5.24), имеем
Г/х, i (я) / (Я) = N*. -/-х-1 (я) (аз)х>
/ ф ± г А - у + л, л = 0, ±1............
(2.5.37)
Для значений I, отвечающих основной серии, матрица А*'1 (А) унитарна:
[Ах'г (А)~1]+ = Ах>г(А), Z<=--^p- + iR. (2.5.38)
Для значений I, отвечающих дополнительной серии, из формулы (2.5.37)
получаем
[А0' 1 (А)-1]1" = №' "г_1 (А) = Т"0' 1 (А) №'1 (А), I е= (-1, 0).
(2.5.39) Поэтому соотношение
}" (А) = A1*' (A) f (А) (2.5.40)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 155
задает унитарное отображение пространств представлений
" 1> 0
основной и дополнительной серии Vsun 1( со скалярными произведениями
(2.5.10) и (2.5.16) на гильбертово пространство ф вида (2.5.34). В
дальнейшем для простоты мы используем матричные бозначения: функции f" и
f будут изображаться двухкомпонентными векторами-столбцами. Унитарное
преобразование между пространствами представлений Ф^',0,) и ф в итоге
имеет вид
+ оо
fxW=№/iosV;1"1)> /(*>)=? J w. (2.5.4D
х-± - оо
где новое интегральное ядро равно
w,
г'=±
Вместо формул (2.5.14) и (2.5.19) условия унитарности принимают вид
~к)'
+ оо
S J (сй'Хл'(")* =
-оо
• 2яб(-Пп^-), /e=-(l +f) + iR,
, ,v (2.5.43)
Г0'-'-1^), /е(-1, 0).
В силу (2.5.37) интегральная формула (2.5.17) заменяется на
(Г*' lw*i 0 (со) = т(со). (2.5.44)
Для целых I (дискретная серия) выражения (2,5.42) очевидно совпадают с
предельными значениями (2.5.21) аналитических функций, определяемых
формулой (2.5.20). Как показано выше, эти функции осуществляют унитарное
отображение пространств
Фщ/а.н на гильбертовы пространства = З?2 (R). Эти отображения можно
объединить с унитарным отображением между пространствами ф' и ф, где
Ф = Ф+0Ф_ = {(/+, (2-5.45)
156 М. ШААФ
Поэтому для дискретной серии пространство $ оказывается пространством, в
котором реализуется унитарно преобразованное представление Usub?!)(r)
Us'uh7i)" Следовательно, в случае дискретной серии формулу (2.5.41) можно
дополнить следующей:
(2.5.46)
f ((r)) = 2 j d^wxi ' И fx (я) = J dKw^-1 h (Я)'
tss± - OO "-OO
с условиями унитарности в виде (2.5.33).
Представление Us'uiui), перенесенное в гильбертово пространство согласно
формулам (2.5.41) и (2.5.46), может быть записано в виде
+ оо
W(i.4i)M)f)t"M= S J dXU^^A)^,' XJX (Я) (2.5.47)
с обобщенными интегральными ядрами
Usblh\MW, хк^ | C/5t/o?i)М) (2.5.48)
Поскольку
U*sbl(i?i) ф (в, |))та, u = Xх' А (е, |) (Я' - Я), (2.5.49)
то мы обозначим эти ядра как матричные элементы представления группы
S?/(l, 1) в базисе, связанном с подгруппой Н2. Очевидно, условия
унитарности (2.5.43) и (2.5.33) играют роль обобщенных соотношений
унитарности и полноты для этого "базиса" {w*^': т = ±, - оо < Я < ooj.
Вначале вычислим обобщенные матричные элементы (2.5.48) только для
основной и дополнительной серий. Используя формулы (2.5.42), (2.5.44),
(2.5.38) и (2.5.39), получаем
U,ni) MW = N*'1 (я') V\>\ (А) N*'1 (Я),
V$J. XX (А) = ~Г j) ^ (0-^; ((r)) ! иЛ.2 + А22\-2l~2*-2 X
X ((r)Л12 + Л22) q>VM. (2.5.50)
Для вычисления интегралов введем точки со± (Л), лежащие на границе
единичного круга:
<°±(Л) Л = ±1, т. е. со±(Л)= -^;;~^. (2.5.51)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 1Б7
С помощью соотношения
zA - z'A = (zAli + An)(z'Alt + Anj • (2.5.52)
справедливого для любых значений (z, z')gCXC, AsSL(2, С), можно записать
следующее интегральное представление матричного элемента:
Hk'tx (Л) = | Ап- Ап\~'-:~*12-а\ Аи + А12 rl-l~*'2+tKX
хш ! it е (со- А)*1 " _ 1 i/+x/2+a'i (r) +11,+x/2_,v X
дКХ'Х
X! <В - со+ а _ ш_ J-1-/-X/2+" (2.5.53)
