Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
I 1/2к, принимающее целые и полуЦелые значения. Мы предпочитаем указанные
обозначения, так как они позволяют явно разделить целые (и = 0) и
полуцелые (х = 1) спицы.
1.3. НЕПРИВОДИМЫЕ УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГРУППЫ St/(1,1)
Теория представлений некомпактной группы St/(1,1) была создана в 1947 Р.
Варгманом [13]. С тех пор она почти не фигурировала в физической
литературе. Поэтому мы изложим
120 М ШААФ
эту теорию более подробно, чем теорию представлений группы SU (2). В
целом изложение следует книге Гельфанда, Граева и Виленкина [14], в
которой можно найти также доказательства некоторых математических
положений.
Пусть ЗГ- линейное пространство функций, заданных на границе единичного
круга {со ^ С : | со | = 1} и бесконечно дифференцируемых с топологией,
определяемой точечной сходимостью. Известно, что любая функция / е 5Г
может быть разложена по базису
{ev : ev (ш) = av, v = 0, ± 1, ± 2, ...} (1.3.1)
в сходящийся всюду ряд Фурье
+ оо
К--яг§-тге,М'Н"). (1.3.2)
- оо
С помощью фурье-компонент мы определяем подпространства линейного
пространства ЗГ\
g-*+n = {f<=g-:fv = 0 при v<" + k+1},
= :fv = 0 при v>- п - I}. (1.3.3)
Из 5Г\ п получаются подпространства
зг*' п = п, &и " = * и ЗГ- п>• (1.3.4)
Здесь (Ш) - линейная оболочка пространства Ш. Очевидно,
#-*¦" = {()} при /г + к+1>0, ЗГкцп = ЗГ при д<0. (1.3.5)
Пространство ЗГ или его подпространства указанного вида содержатся в
гильбертовых пространствах всех неприводимых унитарных представлений,
которые будут построены в дальнейшем, как плотные подпространства.
Операция преобразования из группы St/ (1,1) на границе единичного круга
определена следующим образом:
SU( 1, 1)эА:(о-"(оЛ^^п (1.3.6)
v ' ' соЛ12 + А22 v '
Квазиинвариантная мера на границе единичного круга равна da/a;
производная Радона - Никодима равна
^=г- = 1 о Л12 + Л221-2-. (1.3.7)
съА о
Непрерывное линейное представление группы SU (1, 1) в про-
странстве У для ие[0,1] и /еС определяется следующим
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 121
образом:
St/ (1, 1) э Л -> V*' 1 (Л):
(Г- l(A)f)((r)) = | шЛ12 + А22 \~n~*~2(y*A"++AA22\ (1-3'8)
Согласно Гельфанду и др. [14] (гл. VII, § 2), для нецелых I это
представление является неприводимым в том смысле, что не существует
нетривиального подпространства инвариантного относительно представления
Vх' 1. Для целых I подпространства 1, ЗГу'1 и ^п' 1 - инварианты
относительно Vх' 1. При / + к + 1 > 0 сужения
Vх' 1 = Vх' '| 1 (/+ и + 1 > 0, целое) (1.3.9)
оказываются неприводимыми подпредставлениями. Так как при этом 0-у (кроме
случая и=1, 1 = -1) является собственным инвариантным подпространством,
представление Vх'1 естественным образом индуцирует представление в
фактор-пространстве iF/lFy'*, которое, как можно доказать, является
неприводимым. В силу изоморфизма
070-и'' _'_х_1а + я+ 1 >0, целое) (1.3.10)
мы можем рассматривать это представление также на элементах пространства
1FX'"*_х_1. Таким образом, кроме V*±l, мы приходим еще и к третьему
неприводимому представлению, заданному определением
Т/Х, I _ Dx, -J-X-It/X, lDn, -l-K-1 I дт-X, -l-X-1
K n =/n v ^ n l^n
(/ + к + 1 > 0, целое), (1.3.11)
т. e. к сужению на пространство 1FX'_*_X_1 представления V*'1, которое
осуществляется с помощью проекционных операторов Рхп Прц I <
0 мы имеем два варианта. Пространство iFfj'1
(кроме случая и=1, 1 = -1) оказывается инвариантным подпространством
пространства ЗГ, и сужение
V^l=V*'1\&~Ъ1 (/<0, целое) (1.3.12)
является неприводимым представлением группы SU (1, 1). Так
как в этом случае пространства @~± 1 включают iFfr1 в каче-
стве нетривиального подпространства, то сужения представления Vх'1 на 1
не являются неприводимыми. Однако можно
122
М. ШААФ
доказать, что представления, естественным образом индуцируемые
представлением Vх'1 в фактор-прострацствах 1/@~*' К являются
неприводимыми. В силу изоморфизмов
1!^ дг^-1~*~х ^ {I СЪ, целое) (1.3.13)
мы можем рассматривать эти представления на элементах из пространств
!F±~l~x~l. Так что, помимо V^'1, имеются неприводимые представления
J0OC.-/-X-1 (/<0> целое)) (1>ЗЛ4)
т. е. сужения на пространстве представления Vх'1,
осуществляемые с помощью операторов Р±~1~х~х.
Таким образом, для целых I мы имеем разложение пространства $Г в прямую
сумму трех подпространств, на каждом цз которых задано неприводимое
представление группы SU (1,1):
(/ + к+1>0, целое),
\$-x+-'-x-l(r)3rxj-!-x-l(r)$-xri! (КО, целое).
Здесь пара представлений, отвечающая I и -I - к-1, определена на одном и
том же подпространстве. Однако еле-
I
дует отметить, что представление V ' неразложимо и потому никаким
способом не может быть представлено в виде прямой суммы подпредставлений
V±l, В случае и=1, / = -1,
когда области / + к + 1 > О и / < О перекрываются, следует еще уточнить
сформулированные выше утверждения. Здесь ~х = (0) и пространство SF
распадается на прямую сумму У + При этом мы имеем только два
неприводимых
Представления V±_1, причем V1'1 = V+-1 (c) Vll-1.
