Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
которых построенные выше представления
126
М. ШААФ
в пространстве 3F и его подпространствах могут быть обобщены до унитарных
представлений в гильбертовом пространстве. Для полученных таким образом
унитарных представлений мы позднее кратко дадим доказательства их
неприводимости.
Скалярное произведение в гильбертовом пространстве, для которого ЗГ
является плотным подпространством и в котором представление Usu\i,i> при
сужении на дает Vх'1, определяется как специальный билинейный функционал
того вида, какой был описан в нашей теореме для случая к' -к, 3 = 1. Он
симметричен и положительно определен:
<J\Bg) = {g\BfY, if\Bf)>0 при 0. (1.3.35)
Согласно теореме, этот функционал существует только при условии, что Re /
= - >/г (1 + или Im I = 0. В первом случае В является б-функционалом,
который, очевидно, симметричен и положительно определен. Во втором случае
при нецелых I функционал Т*'1 симметричен, так как, согласно формуле
(1.3.27), он имеет вещественные собственные значения. Однако он является
положительно определенным только при % = 0, - 1 < I < 0, так как только в
этом случае отношение собственных значений для векторов ev+1 и ev, (v - I
- %)/(v + I -f 1),
положительно при всех v, а при % = 0, I = - '/г оператор Т*'1 равен
единице. Для целых I рассмотрим функционалы Г*'1 и in1, заданные на своих
подпространствах. Эти функционалы симметричны, так как их собственные
значения вещественны. В пространствах (при / < 0) и !Fn' (при I -ф и + 1 >
0)
положительно определенные функционалы существуют только при % = 0, / = -
1 и % = 0, 1 = 0 соответственно, так как собственные значения имеют
чередующиеся знаки. С другой стороны, в пространствах ^~'± 1 (при I + к +
1 > 0) и ^"± г_х_1 (при I < 0) операторы (±1)*Т±1 являются положительно
определенными при целых I и и е {0, 1}. В указанных выше случаях
инвариантные, симметричные и положительно определенные функционалы в
пространстве ЗГ или его подпространствах могут быть введены как скалярные
произведения. Эти линейные пространства, снабженные соответствующими
скалярными произведениями, являются гильбертовыми пространствами
&s?/o,i)> в которых представления Vя'1 расширяются до унитарных
представлений Usut. 1,1). Таким образом, существуют следующие серии
унитарных представлений группы SL/(1, 1):
Редукция произведения двух неприводимых представлений 127
1. Основная серия состоит из представлений вида {Usu(i,i)(A)f}(a) =
d(i>A/(i>A , " , я |-2/- х- 1 ( (оЛ12 + Л22 \xf/ -ч /, о
= V -Ж/~ I "^2+^22 1 (№7+Л^г) /(ЮЛ)> 0-3.36)
х = 0, 1; / = - уО + х) + - оо < | < оо,
в гильбертовом пространстве $sua. i) = Ф квадратично интегрируемых
функций на границе единичного круга; скалярное произведение определено
следующим образом:
(1.3.37)
2. Дополнительная серия состоит из представлений вида
{U°suo, 1) (А) /) (ш) = 1 оЛ.2 + А22 Г2' f М, (1.3.38)
В гильбертовых пространствах &su(Ы) со скалярными произведениями
+°°
<Нг>л^(М1=</1^'г>= S nv+F+ofe. (1.3.39)
V= -оо
3. Дискретная серия состоит из представлений вида (.Usu\*i)(A) /)(") =
^±Л"(-^-)| "'t4i2+ А22\ 21 *~1 X
х = 0, 1, /= 0, ± 1, ± 2, ..., 10 = тах(/, -/ -х- 1),
где Р± 1" (а/а') - ядро, отвечающее оператору проекции на подпространство
@~±l\ l0 = max (1, -1- х-1). Представления действуют в гильбертовых
пространствах которые по-
лучаются путем введения в упомянутые пространства скалярных произведений
вида
(f\S)su*i) = (f\(±Wf±lg'> =
00
= 2 (7+7)1 ^±(v+x/2)+x/2^±(v+x/2)+x/2- (1.3.41)
v=max (- I, f+x+1)
При / -x -1 > 0 проекционный оператор в формуле (1.3.40) можно опустить.
128
М, ШААФ
4, Единичные представления. Это представления вида (^su'o! 1) {А) /) (0)
=
= 157 § if?""" (Я)' + А" (1.3.42)
у, = 0, 1 = 0, - 1,
в одномерном гильбертовом пространстве §5,?/,(iniI) = ^"°n,0 = C.
Проекционный оператор Р°л° можно опустить при 1 = - 1.
Основная и дополнительная серии пересекаются в точке у = 0, I = - '/г,
причем соответствующие представления в обеих сериях совпадают. Основная и
дискретная серии пересекаются в точке и=1, I = - 1. Представление Usi7(i,
р основной серии разлагается в прямую сумму представлений Usu~(i, I) и
б^'иц', Г)> принадлежащих дискретной серии. Соотношения эквивалентности
(1.3.33) и (1.3.34) для унитарных серий могут быть распространены до
соотношений унитарной эквивалентности. Следовательно, представления с I и
-I - и-1 унитарно эквивалентны. Классы эквивалентности неприводимых
унитарных представлений группы S?/(l, 1) могут быть определены поэтому
уже на половине указанных серий. Для параметра р, введенного в разд. 1.1
для характеристики классов эквивалентности неприводимых унитарных
представлений малых групп, можно выбрать следующие обозначения:
и = 0, 1; l = + 1^0, п = 0,
основная серия;
0; -^-</< 0, г) = 0, дополнительная серия; (1.3.43) 0,1; 1 = 0, 1, 2,
..., т)=±, дискретная серия;
0; I = - 1, т) = П , единичное представление.
Здесь мы ввели г) = 0 для единообразного обозначения гильбертовых
