Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
матричных элементов малых групп, установленные при этом, также могут
представлять интерес при рассмотрении аналитических свойств элементов S-
матрицы. Теоремы разложения необходимы при решении проблемы приведения
для произведения любых двух неприводимых унитарных представлений группы Р
с ненулевыми импульсами. Метод приведения с помощью спин-орбитальной
связи, использованный Йоосом [1], приспособлен, по существу, для
произведения представлений щимпульсами, лежащими внутри светового конуса.
Между тем Мусса и Стора [2], исходя из теории Макки, пришли к методу
приведения, использующему так называемую связь спиральностей, который
применим ко всем случаям, исключая произведение двух представлений с
пространственноподобными или нулевыми импульсами. Наш метод, пригодный
также и в этих случаях, построен в духе подхода Мусса и Стора, но в
несколько большей степени использует геометрические идеи.
Задача приведения для произведения двух неприводимых унитарных
представлений группы Р, по крайней мере одно из которых отвечает нулевому
импульсу, сводится к задачам приведения для некоторых унитарных
представлений малых групп, решения которых в большинстве случаев имеются
в литературе.
1. Неприводимые унитарные представления группы Пуанкаре
Элементами группы Пуанкаре Р являются пары (Л, а), где А принадлежит
группе SL(2, С) комплексных унимодулярных матриц 2X2, и а принадлежит
вещественному четырехмерному векторному пространству R4. Закон композиции
для этой группы имеет вид
(А, а) (А', а') = (АА', а + Л(А)а'). (1.1)
Здесь оператор Л (Л) определяется накрывающим гомоморфизмом SL(2, С)->L+,
где L\ - собственная ортохронная группа Лоренца, реализуемая в
пространстве R4 обычным образом. Явный вид матрицы Л (Л) дается
соотношением
Л->Л (Л): A(^|J = -iSp(aMaH+),
z (1.2) (^ = (*2, о), 5ц = (-12, а),
где 12 - единичная матрица 2X2; а1, а2, а3 - матрицы Паули:
ОП /0 - А /1 О
1 о)' (/ о)' а3-(о -1
Как видно из формулы (1.1), Р является полупрямым про-
изведением SL(2, С) (r) R4 с заданием операции Л из группы SL(2, С) в
пространстве R4. Группа SL(2, C) = (SL(2, С), 0) является подгруппой
группы Р, а R4 = (I2, R4) - абелевой инвариантной подгруппой группы Р.
1.1. ПОСТРОЕНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ УНИТАРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРУППЫ Р
Неприводимые унитарные представления группы Р, согласно Макки [9],
строятся путем выполнения следующих действий.
I. Устанавливаем группу характеров абелевой инвариантной подгруппы R4.
Имеем *)
(I2, a)->-%P(a) = eipa, ра зе - p°a° + р • а, peR4. (1.1.1)
') В этой статье используется метрика fyv=*diag(-1, 1, 1, 1).
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 115
Таким образом, группой характеров является "импульсное про-странство" R4.
Использование индефинитного скалярного произведения р ¦ а не обязательно,
однако это облегчает выполнение последующих шагов.
II. Устанавливаем орбиты группы SL(2, С) на группе характеров R4, т. е.
классы в пространстве R4, задаваемые следующим соотношением
эквивалентности: р и р' принадлежат одной и той же орбите Q (р), если
существует такой элемент A^SL (2, С), что %р' (а) = %р(А (Л)-1 а) для
любого eeR4. Согласно формуле (1.1.1), мы имеем %Р(Л(Л)-1 а) = %Л(Л) р(а)
и потому Q(p) = = L+p, т. е. орбитой вектора р является "массовая
оболочка11, на которой он лежит.
III. Разбиением пространства R4 на орбиты мы характеризуем выбором
следующего множества Q, состоящего из предста-
о
вителей, т. е. "стандартных импульсов11 р:
R4 = (J Q (р), Q = Q+UQ"UQ°UQo+U^o'UQo,
О
рей
Q±={± те{0): т>0), 0° = {пе(3) : п > 0},
По" = {± е"" + в(з)}, Qo ={0}.
Здесь {е^)} - "ортонормированный11 базис в пространстве R4:
е(ц) ' = = 14- (1.1.3)
о о
IV. Для каждого рей устанавливается малая группа G(p), т. е. подгруппа
SL(2, С), для которой %Р(Л (Л)-1 а) = %р (а) при
О
любом Леб(р) и aeR4. Последнее условие, согласно формулам (1.1.1) и
(1.2), эквивалентно следующему:
А е G (р) ФФ А (р • а) Л+ = Л (А) р ¦ а = р • а. (1.1.4)
В силу формулы (1.1.2) существуют только следующие четыре
различные малые группы:
pf=Q+UQ- :G(p) = SU(2);
A^SU( 2) ффЛ2, =-ЛЬ, Л22 = ЛЬ;
peQ° :G(p) = SU( 1, 1);
Ae=SU( 1, 1)ф^Л21 = ЛЬ, Л22 = ЛЬ; (1.1.5Л
р s Qo+ U Q<T • G(p) = E (2);
Л е ? (2) ФФ Л21 = О, Л22 = ЛЬ;
рейо :G(p) = SL(2, С).
116
М. ШААФ
Группы SU(2), SU(I, 1) и ?(2) являются подгруппами SL(2, С), унитарными:
первая - относительно дефинитной метрики а0 = 12, вторая - относительно
индефинитной метрики 1 О'
ог3 = ( q ^ у и третья - относительно вырожденной метрики
/1 0\
ого + <73 = 21^ qI соответственно. Группа ?(2) - изоморфна
дважды накрывающей группе для группы эвклидовых движений плоскости. В гл.
3 нам понадобится также малая группа, принадлежащая множеству
представителей
Q0' = \пе(2) : п > 0}. (1.1.6)
О
Согласно формуле (1.1.4), группа G(p) в этом случае является вещественной
подгруппой SL(2, R) группы SL(2, С); она изоморфна SU (1, 1);
pG?l°':G (р) = SL (2, R); А е SL(2, R)4# А = А'. (1.1.7)
