Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
гладкая G-инвариантная функция на М. Тогда / имеет по крайней мере одну
критическую точку для каждой связной компоненты С каждого минимального
страта.
Нас интересуют теперь функции на сфере частного вида: пусть G -
компактная группа Ли, 8- вещественное векторное пространство, в котором
действует линейное вещественно-неприводимое представление g-> R(g)- Таким
образом, R (с точностью до эквивалентности) является ортогональным
представлением и контраградиентно самому себе. Обозначим через (х, у)
инвариантное эвклидово скалярное произведение в 8. Предположим, что dim
(Нош 8\1 8, 8)°= 1 (символ V обозначает симметрическое
') При доказательстве этой теоремы, сформулированной мной и Ради-катн,
нам очень помогли А. Борель, К. Мур и Р. Том.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
99
тензорное произведение). Как мы уже видели в разд. 1,5, существует
единственная (с точностью до постоянного множителя) симметрическая
алгебра:
где "ф е Нош (<!f V <S, <S)°, (5,42)
причем хту = утх.
Так как представление контраградиентно самому себе, а тензорное
произведение ассоциативно, то
(.хту, г) = (х, утг) = {*, у, z}. (5.43)
Следовательно, инвариант [х, у, z} является полностью симметричной G-
инвариантной трилинейной формой на S'. Пусть / ({х, у, z}) - функция на
единичной сфере S = {х е S', (х, х) = 1}. Используя X в качестве
множителя Лагранжа, получаем для критических точек / уравнение
grad [/ ([х, х, х}) + X (1 + (х> *)] = 3f'xTx -2Хх = 0, (5,44)
где Г - производная функции /, зависящей от одной переменной (например,
если / = {х, х, х], то /'=1), Иными словами, критические точки функции /
определяются решениями уравнения хтх = Хх, т, е, идемпотентами (или
нильпотентами для А = 0) симметрической алгебры.
5.5. СИММЕТРИЯ SU(3)XSU(3)
Для описания мира адронов использовались и симметрии более высокие, чем
симметрия SU (3), Конечно, эти симметрии являются более грубыми, но, как
мы увидим, они еще могут быть полезными. Симметрия SU (3) \ SU (3)-это
симметрия, которая становится точной в случае пренебрежения массами 0--
мезонов. Заметим, что, считая эти массы равными нулю, мы берем на себя
почти такую же смелость, как и утверждая, что они равны между собой, что
мы уже делали для группы SU (3), На самом же деле приближение, в котором
пренебрегают только массой я-мезона, гораздо лучше, чем приближение SU
(З)-симметрии (тп = 140 МэВ, что меньше, чем разница масс 0"-мезонов),
Это приближение соответствует подгруппе SU (2)Х X SU (2) X U (1) группы
SU (3) X SU (3).
На фиг, 5.3 приводится схема групп симметрии, рассмотренных в физике
адронов, но в этом разделе мы ограничимся рассмотрением группы SU (3) X
SU (3) и ее подгрупп, (См. также лекции О'Райферти [37] о высших
симметриях,)
100
Л. МИШЕЛЬ
На уровне средней линии (фиг, 5,3) появляется новая характерная
особенность - смешение внутренней симметрии и пространственно-временной
инвариантности. Оно очень мало для SU (3) X SU (3), так как это относится
только к оператору четности, В рассматриваемом случае полная группа
симметрии является полупрямым произведением
(Р0 XSU3XSU3)nZ2 (Р). (5.49)
Здесь Z2(P) действует обычным образом на ?Р0 и переставляет два St/з-
множителя в группе SU3 XSU3. Чтобы различать такие SU (З)-множители,
обозначи т их SU3+) X SU3~K В физической
т
70
35 Ш
8 7
4
Фиг. 5.3. Группы симметрии и их размерности.
Схема групп симметрии, используемых в физике адронов. Стрелки означают
вложе->ние в качестве подгруппы.
литературе они известны как киральные группы (±). Группа (5.49)
представляет основу для понимания связи оператора четности Р с различного
рода взаимодействиями. Это становится ясным из следующих рассуждений.
Диагональная подгруппа SU (3)d cz SU3+) X Si/з^ есть группа
инвариантности SU (3) (разд. 5.1-5.3).
Обозначим вектор 16-мерного векторного пространства <§Г1б алгебры Ли SU
(3) X SU (3) прямой суммой двух векторов
а = а+ (c)а_, (5.50)
где а± принадлежит SU^-октету.
В терминах октетного скалярного произведения инвариантное эвклидово
скалярное произведение (задаваемое формой Кил-линга - Картана) имеет вид
Щ6,6)
SV(S)xSU(6)
S \
SU(6) SU(3)X5U(3)
\ / \
sfr[z)xsv(2)xu(l)
т.
(а, Ь) = (а+ (r) а_, b+ (r) b-) = j (а+, Ь+) + у (а_, ?_)• (5-51)
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ Ю1
Закон композиции в алгебре Ли (используем для него знак А) имеет вид
а А Ь = (а+ Д Ь+) (r) (а_ Д ?>_)•
Поскольку dim Horn (<!f16 V &\b)sv <3) х su <3) = 1, то существует
единственная каноническая симметрическая алгебра
а V В = (а+ V ь+) 0 (а- V ь_). (5.52)
Свойство ковариантности электромагнитного и слабого взаимодействий
наиболее естественно распространяется на инвариантность SU (3) X SU (3)
при следующем предположении: электрический ток /ц(я), векторная часть
(*), аксиальная векторная часть а(r) {х) (заряженного при е = ± 1) слабого
адронного тока (*) = ujf* (х)- (х) являются образом одного и того же
|Р16
тензорного оператора, который мы впредь будем обозначать Нц(х,а). При
