Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
Q=r3 + |K (5.21)
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВДНТОВОИ ФИЗИКЕ
9!
между генераторами U (2) с= SU (3) на языке геометрии октета имеет вид
(у,-q-единичные положительные псевдокорни) Q = -2lV* F{q), Y = 2lVJF(y)%
t3~ корень, T3 = F(t3). На фиг. 5.2 приведены соответствующие корни двух
самых нижних октетов частиц, а также веса самого нижнего декуплета
барионов.
5.3. SU (З)-СИММЕТРИЯ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ И СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
б.З.а. Электромагнитное взаимодействие
Как следует из уравнения (5.21), оператор Q электрического заряда есть
генератор группы U (2) cz SU (3), так что он в свою очередь является
генератором группы SU (3) и, как мы уже видели,
Q = yfF(-q), (5.26)
где q, как и раньше, есть псевдокорень. В литературе SUq(2) называется
группой {7-спина. Таким образом, мы можем говорить об (7-спиновых
мультиплетах, имеющих один и тот же электрический заряд и = 1/2,_р+, Е+,
а также 3~, и= 1, п, Е°, 1/21Р + |/3/2Л°; и = 0, 3/2 2° - V2A0.
Электрический заряд
есть интеграл от временной компоненты электромагнитного тока
Q = е J /° (х) dx, (5.27)
а д1*;1* (х) = 0, следовательно, Q есть сохраняющийся (в более общем
случае ^-инвариантный) оператор. Конечно, j°(x) может иметь любую
ковариантность относительно группы SU (3) при условии, что интеграл
неоктетной части исчезает. Самая простая гипотеза заключается в
предположении, что электромагнитный ток f (х) есть образ октетно-
тензорного оператора в направлении (-<?):
e-?Lrj"(xi-q) (5.28)
•) Множители 2/Кз" находятся из условия, что спектры Q и Y состоят из
целых чисел. Уравнение (5.21) предполагает, что q и у - нормированные
псевдокорни, имеющие противоположный знак. Выбор знака (+ у), (-у) в этом
случае условен и соответствует фиг. 5.2.
92
Л. МИШЕЛЬ
[ср. с уравнением (5.26)]. Это позволяет сделать многие выводы. Магнитный
момент частицы мультиплета дается средним значением октетно-тензорного
оператора в направлении (- q). Он зависит только от двух констант для
октета (и от одной для декуплета), и частицы одного и того же "-спинового
мультиплета имеют один и тот же магнитный момент. Например,
предсказывается равенство p,2+ = p,p+, которое хорошо подтверждается.
Сейчас осуществляются измерения цло, ц2- и ца-и вероятности распада 2°-
>Л° + у, которая определяется (поскольку это "магнитный дипольный"
переход) значениями ц в этом октете. Можно предсказать отношение
вероятностей электромагнитного распада, например:
= Х отношение Ф^овых объемов =
= 3 X отношение фазовых объемов (5.29)
[при этом используется уравнение (5.26) и равенство (#,/3) = 0].
Наблюдаемое соотношение распадов <f> -> ц+ + ju,-, <в->-р.+ +Ц'-служит
хорошим подтверждением величины угла смешивания. Таким же образом можно
успешно предсказать отношение сечений фоторождения.
Разности масс внутри мультиплета Uy (2), по-видимому, имеют
электромагнитную природу. Они квадратично зависят от /** (х; -q), но в
хорошем приближении можно считать, что важны только скалярная и октетная
части, так что в этом случае массовый оператор (5.5) можно переписать,
складывая электромагнитные эффекты:
М = м0 + Мх F (у) + M2D (у) + М3 - JL F (- q) + M4D (- q),
а внутри SU (З)-мультиплета значения масс даются выражением
т = т'ъ + т\у + + 1) - -^у2^-{-m'3q + т\[и (и + 1) - \q2^,
(5.30)
которое для барионов хорошо подтверждается.
5.3.6. Слабое взаимодействие
Кабиббо обобщил на случай группы SU (3) гипотезу Гелл-Манна и Фейнмана
относительно связи векторной части слабого тока (х) с током лептонов
/T|i(x) (см. разд. 3.6) в предположе-
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ 93
нии, что (х) и j^ix) являются образами одного и того же октетно-
тензорного оператора [обозначим его (х)] для трех различных направлений:
-q, с±. В явном виде
электромагнитный ток = -у=- ev^ (х, -q),
G 3 (5.31)
слабый ток = -у= v(х; с±)
(где G - константа Ферми). Второе предположение Кабиббо
заключается в том, что аксиально-векторные части слабого тока aj (х)
являются образами другого октетно-тензорного оператора для того же
направления с±. Таким образом, полный слабый ток
ht (х\ с±) = и* (х; с±) - а* (х; с±) (5,32)
является также образом октетно-тензорного оператора. Следствия из этих
предположений можно найти в оригинальной статье Кабиббо в антологии
"Восьмеричный путь" [81], стр. 207. Знак (±) соответствует здесь
электрическому заряду тока, т. е.
[Q, h$ (х)] =±h* (х). (5.33)
Пользуясь тем, что Q есть генератор группы SU (3), Q =
= 2/V3F (-<?), можно переписать это уравнение в виде (1.9):
- yf[F (<?)> К (*> с±)] = - Yf hv. (*. л C±) = ±hll (x, c±).
(5.34)
Из (5,34) получаем уравнение
q Д c± = + c±, (5.34a)
которое означает, что c± являются собственными векторами
оператора F(q). Записав в уравнении (5.34а) с± = l/V^2(c( ± ic2),
находим, что С\ и с2- это единичные векторы, принадлежащие Uq(2), так
что, как видно уже из уравнения (5,21), они являются корневыми векторами.
Уравнение (5.34а) эквивалентно уравнениям q /\с^ = с2, qAc2= - c 1;
