Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мишель Л. -> "Симметрия в квантовой физике" -> 32

Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.

Мишель Л., Шааф М. Симметрия в квантовой физике — М.: Мир, 1974. — 251 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavkvantovoyfizike1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 81 >> Следующая

возможность существования
88
Л. МИШЕЛЬ
27-плета ( -барионов (в табл. 2.3 не обозначен, так как
это еще предварительные экспериментальные данные). Надо отметить, что
появляются только НП присоединенной группы SU (3)/Z3.
5.1.д. Поперечные сечения и распады резонансов
SU (З)-инвариантность предсказывает отношения вероятностей распадов
резонансов на более легкие адроны (вероятности, измеренные по
естественной ширине, и различные относительные вероятности). Это дает
замечательно хорошие предсказания и объясняет такие странные явления, как
малую относительную вероятность распада ф на 2л.
Для реакций с двумя октетными частицами А + Д-"-C + D можно показать, что
амплитуда рассеяния принадлежит к представлению
FP eFP = FFP(r)FP(r) • (r)FP + [=ш+ ПЛ
_ , (5.11)
8 (r) 8 27 8 ! 8 10 10
содержащему семь произвольных параметров. Еще меньше параметров в реакции
8 <8)8 ->-8(r) 10. Путь уточнения разности масс пока не ясен и все
предсказания в этой области не эффективны.
Антология оригинальных статей, посвященных SU ^-симметрии, была
составлена Гелл-Манном и Нееманом [81]. Этому же вопросу посвящена книга
Гурдэна [82].
5.2. ГЕОМЕТРИЯ SU (З)-ОКТЕТА
Обсудим некоторые геометрические свойства присоединенного представления
группы SU (3). Формулами (1.18), (1.19), (1.19а) мы уже определили SU
(З)-инвариантное скалярное произведение (х, у), произведение в алгебре Ли
х Д у и произведение в симметрической алгебре х V У для любой пары
элементов х, z/elТпг~1 - вещественное векторное пространство
присоединенного НП SU (п). Ограничимся здесь рассмотрением случая п = 3 и
обозначим октетное пространство через <^8. Его элементы могут быть
представлены в виде эрмитовых матриц 3 X 3 со следом, равным нулю. Они
удовлетворяют уравнению
X3 - (х, х) х - / det X = 0,
(5.13)
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ 89
для коэффициентов которого должно выполняться неравенство
4 (лг, л:)3 ^ 27 (det л:)2. (5.14)
Мы находим, что
det х = -|- (х, х V х). (5.15)
Таким образом, (5.14) можно переписать в виде
(х, х)3^ 3 (х, х V х)2. (5.16)
Орбиты группы SU (3) в пространстве $ь находятся во взаимно однозначном
соответствии с парами вещественных чисел (х, х), (х, х V х),
удовлетворяющих неравенству (5.16). В случае когда (х, х)3 > 3 (х, х V
х)2, х называется регулярным элементом ($ь и его группа изотропии Gx есть
f/(l)X^(l). Ее алгебра Ли является подалгеброй Картана и порождается
элементами х и х V х. Если же (х, х)3 = 3 (х, х V х)2, то х называется
исключительным элементом, а его группой изотропии является U (2). Такой
элемент х мы будем называть также ^-вектором, или псевдокорнем. Далее мы
будем пользоваться только нормированными векторами: (х, х) = 1. Векторы
г, удовлетворяющие соотношению (г V А г) = 0, являются корневыми
векторами. Каждый псевдокорень имеет вид
q=±V3~r\/r (5.17)
и удовлетворяет уравнению
q V q = + Ц- (5.18)
Назовем его положительным или отрицательным (нормированным) ^-вектором.
Обозначим через fx, dx линейные отображения
fx dX
а->х Д а, а-->х\/а.
Тогда
[fa, fb\ = fa A b, [fa, db] = da A b\ (5.19)
таким образом, для Vа, b из подалгебры Картана 92 х f(a) в ба-
зисе zk комплексифицированного пространства $ь могут быть диагонализованы
одновременно. Поскольку алгебра 92х остается стабильной при действии [а и
da слева, мы разложим
/а == fa (r)fа ' 4, = (r) 9?х(r)92±.
Тогда
/а=°> faZk = i(rk'a)Zk' k = l, .... 6, (5.20)
da Zk = (r* v rk, a) zk = y=r (qk, a)zk, k = 1, ..., 6, (5.20a)
90
Л. МИШЕЛЬ
где гк - это шесть единичных корней алгебры 9?х, a qk = = rk V rk - три
положительных единичных псевдокорня алгебры 9?х.
Два собственных значения d'h равны ±
Лемма. Каждая двумерная плоскость пространства <Sb содержит по крайней
мере один корень. В самом деле, непрерывная нечетная функция (х, х V х)
от х на единичной окружности {х, х)= 1, расположенной в двумерной
плоскости, проходит по крайней мере один раз через нуль. Существуют
линейные многообразия корневых векторов.
Фиг. 5.1. Корни ± г( и псевдокорни <?г =
= КЗтг V г; подалгебры Картана.
Группой Вейля группы SU (3) является группа S (3). Она переставляет между
собой три q..
Пример. Пусть дан псевдокорень q. Используя одно и то же обозначение для
подалгебры Ли группы SU (3) и ее векторного пространства (подпространства
<!?8), получаем
где трех- и четырехмерные пространства SUq(2) и U2(q)*~, со-содержат
только корневые векторы. Октет частиц образует
п • 2;- z° [V • л° 2;+ ко , ЯГ яс° 1 К+ • п° яг+ Л~ й°' 9 • с 1 Л+
Л++ • • Е°*
• • " • 9 _ гг-* • ~о* ф •
Е ~0 К К0 а-
Фиг. 5.2. Корни октетов частиц и веса декуплета.
i-о" > О Я о о соответствуют двум нулевым корням.
ортонормированный базис комплексифицированного пространства <Г8, в
котором операторы /а диагонализованы для всех а е 9?(у, Ч), т. е. алгебре
Картана, определенной направлениями гиперзаряда и электрического заряда,
так как Y и Q являются генераторами группы Uy(2)czSU (3). Соотношение
Гелл-Манна - Нишиджимы
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed