Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
известных взаимодействиях (так же, как барионный и электрический заряды).
Это два лептонных заряда, которые сохраняются, по-видимому, в
отдельности: заряд е-типа С 8 = + 1 ДЛЯ ее, Vee и нулы для р, и заряд p-
типа с е = ± 1 ДДЯ Ре, V^e И нуль ДЛЯ в, V?.
5. Внутренние симметрии адронов1)
5.1. SU (З)-СИММЕТРИЯ
5.1.а. Октеты
Табл. 3.2 "элементарных частиц" напоминает аналогичные таблицы атомного и
ядерного спектров.
До того как были обнаружены десятки барионов и десятки мезонов, физики
занимались поисками еще большей симметрии, чем симметрия U (2) (изоспин и
гиперзаряд), описанная нами в разд. 3.5. Здесь не место и не время
говорить о неудачных вариантах. Упомянем только о U (З)-группе Сакаты
[78], фундаментальное представление которой было ассоциировано с р, п, Л
- первыми тремя известными барионами.
Точно так же, как Гейзенберг, пренебрегая незначительной разницей масс
нейтрона и протона (точнее, приписывая ее эффекту электромагнитной
собственной массы), предложил считать их двумя состояниями одной и той же
частицы со спином 7г> восемь известных бариоцов со спином (7г+)> а именно
р, п, Л°, 2~, 2°, 2+, 3~, 3°, можно рассматривать как восемь состояний
"одной и той же" частицы, хотя разность масс здесь уже порядка не 0,15%,
а 15%.
К 1961 г. было известно уже семь псевдоскалярных мезонов (О-), одинаковым
образом группирующихся по изоспину и
гиперзаряду у= 1, t=42, К+К°\ У = - 1, * = 72, К~К°; у = 0, * - 1,
п+п°п~, правда, с гораздо большим разбросом по массам.
Гелл-Манн и Нееман независимо друг от друга предложили использовать SU
(3) в качестве классифицирующей группы [79, 80]. Восемь барионов О/г)4- и
восемь мезонов О- (предсказанный с у = 0, * - 0 псевдоскалярный мезон был
открыт спустя несколько месяцев и назван т)°) образуют два октета
(восьмимерные пространства присоединенного представления SU (3); ему
соответствует схема Юнга ЕР). Например, гильбертово пространство
состояний одного бариона есть тензорное произведение #(m, i/2+)<8>
^(В3),, где FB (ш, '/г+) представляет собой пространство НП (m, 7г+)
группы Пуанкаре 9s, а Ж (Ер есть
*) Гл. 4 при переводе опущена.
84
Л. МИШЕЛЬ
пространство октета (8Ъ. В том случае, когда разностью масс барионов
можно пренебречь, SU (3) является точной симметрией. Можно сказать, что
сильные взаимодействия разлагаются на две части: часть с сильным
взаимодействием, инвариантным относительно SU (3), и часть с полусильным
взаимодействием, инвариантным лишь относительно подгруппы U2(T, Y). Это
соответствует редукции !)
ЕР (r) • (r) ш (r) |Р
ff SU(3)\u(2) = [l, j) (0,0) (0,1) (-1, 1) (y,t) (5.1)
8= 2 + 1 + 3 + 2
Но можно ли рассматривать полусильное взаимодействие, нарушающее SU (З)-
инвариантность, как возмущение сверхсиль-ного взаимодействия? При
известной доле оптимизма, конечно, да. В этом случае вы считаете,
что 15% (эффект разности
масс барионов) мало по сравнению с 1.
Перейдем теперь к изучению расщепления масс в SU (3)-мультиплете.
5.1.6. Массовый оператор
Простая гипотеза для массового оператора М заключается в том, что он
может быть разложен на
М = М0 + М' (у), (5.2)
где М0 - "скалярный" тензорный оператор, а М'(у) - образ у [алгебры Ли SU
(3)] в октете (^-тензорном операторе). Пусть <8 есть пространство НП
группы SU (3). Поскольку SU (3) имеет ранг 2, т. е. два нулевых
корня (которые являются нулевыми
весами для представления ЕР)2)> то
dim Нот (S 0 (88, 8)su (3) < 2; (5.3)
]) Для ае[/(2) зачерненный столбец означает (det и) , а 0 означает (det
и).
2) Если представляют собой числа клеток в первой и вто-
рой строках схемы Юнга для НП группы SU (3), то можно также
воспользоваться для этого НП обозначением (Я] - Я2, Я2),
Контраградиентное НП (р, q) есть НП (q, р), так что НП (р, р)
контраградиентно само себе; например ЕР = (1, 1), в то время как НП ПП =
(3, 0) размерности 10 имеет в ка-
честве контраградиентного НП , обозначаемое физиками 10.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
85
точнее, размерность равна 2 (за исключением тривиального НП, имеющего
нулевую размерность) и равна 1 для тех НП, схема Юнга которых имеет
только одну строку [т. е. (Аь 0)] или две одинаковые строки Xl = hl [т.
е. (0, ^2)]. Это, например, НП
cm и контраградиентное к нему НП , имеющие размерность 10 и обозначаемые
поэтому символами 10 и 10. Это верно и для НП ?=(!, 0) и 0 = (0, 1),
обозначаемых 3 а 3,
а также для НП сп = (2, 0) и -- =(0, 2), обозначаемых 6
и 6.
Неравенство (5.3) можно интерпретировать иначе, сказав, что в
гильбертовом пространстве Ж НП SU (3) существует самое большее два
линейно независимых октетных тензорных оператора. Таким образом, в
приближении, когда U (2) является точной симметрией (т. е. можно
пренебречь- электромагнитным и слабым взаимодействиями), массы частиц в
мультиплете зависят от трех параметров [один параметр - среднее значение
М0, и не больше двух для М'(у)]. Из разд. 1.5 известно, что для каждого
<§ мы можем взять в качестве линейно независимых октетно-тензорных
