Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
Principles at High Energy, Benjamin, New York, 1968.
85. Michel L., Radicati L., Evolution of Particle Physics, E. Amaldi
Festschrift, Academic Press, New York, 1970.
86. Gilrsey F., Radicati L., Phys. Rev. Lett., 13, 299 (1964).
87. Sakita B" Phys. Rev., 136B, 1756 (1964).
88. Gell-Mann М., Physics, 1, 63 (1964).
89. Michel L., Proc. 2-nd Coral Gables Conference, Symmetry Principles at
High Energy, Freemen and Co., San Francisco, 1965.
90. Lee В. M" Phys. Rev. Lett., 17, 145 (1965).
91. Adler S. L., Dashen R. F., Current Algebras, Benjamin, New York,
1968,
М. ШААФ ¦>
Редукция произведения двух неприводимых унитарных представлений группы
Пуанкаре
ВВЕДЕНИЕ
Использование симметрии физической задачи позволяет уменьшить число
независимых матричных элементов наблюдаемых. Классическим примером такой
редукции является теорема Вигнера-Эккарта, применимая к наблюдаемым,
которые преобразуются как тензоры при пространственных вращениях. В S-
матричной теории элементарных частиц принцип инвариантности оператора
рассеяния относительно преобразований из группы Пуанкаре приводит к
разложению элементов S-матрицы, обобщающему разложение по парциальным
волнам (см. работу [1]). При этом требуется разложить произведение
представлений группы Пуанкаре Р на неприводимые и найти соответствующие
коэффициенты Клебша - Гордана. Вначале эта задача была решена для так
называемых физических представлений группы Р, т. е. для частиц,
четырехмерные импульсы которых лежат внутри [1] или на границе [2]
светового конуса. Однако в последние годы все возрастающее значение в S-
матричной теории элементарных частиц приобретают так.называемые
нефизические представления, отвечающие светоподобным, пространственно-
подобным или нулевым импульсам. Например, в связи с постулатами
аналитичности и перекрестной симметрии возрос интерес к так называемым
перекрестным парциальным разложениям амплитуд двухчастичного рассеяния, в
которых входящая частица связывается с выходящей [3, 4]. При этом роль
полного импульса играет переданный импульс, который в большинстве случаев
является пространственно-подобным, что приводит к "нефизическим"
представлениям группы
Sektion Physik der Universitat Mflnchen.
112
М. ШААФ
Пуанкаре с мнимой массой. Йоос [5] особо отмечал выявляющуюся при этом
связь между теорией полюсов Редже и теорией групп. С другой точки зрения
интерес к "нефизическим" представлениям группы возник в связи с
предположением Ф.ейнберга [6] о существовании "тахионов", движущихся
быстрее света. Поэтому в настоящее время привлекла внимание также и
проблема приведения для произведения "нефизических" представлений группы
Р.
Мы называем группой Пуанкаре Р квантовомеханическую неоднородную группу
Лоренца; она является универсальной накрывающей группой для группы
преобразований пространства-времени, которая, согласно Баргману [7],
может быть получена как векторное представление группы Р1). Всюду в этой
статье рассматривается только связная часть группы Пуанкаре, так что мы
можем опустить точное определение "собственная ортохронная". Теория
представлений группы Р в основном была построена Вигнером в его
знаменитой статье 1939 г. [8]. Общая математическая теория, теория
индуцированных представлений локально-компактных групп, была развита
позднее Макки [9] (см. также его обзорную статью [10]). Работа Вигнера
воспринимается теперь как естественное приложение этой теории.
До сих пор теория представлений группы Пуанкаре рассматривается в
учебниках по квантовой теории поля лишь в весьма ограниченном объеме,
между тем имеется несколько конспектов лекций и оригинальных статей (см.,
например, работы Эмха [11], Гийо и Пти [12]), в которых она выводится из
теории Макки. Поэтому в гл. 1 мы приводим обзор построения неприводимых
унитарных представлений группы Р лишь в виде ряда рецептов. Несколько
более подробно мы рассмотрим представления с пространственно-подобными
импульсами, так как.они обычно недостаточно' аккуратно излагаются в
физической литературе. Теория представлений соответствующей малой группы
SU (1, 1) [или ее изоморфного образа SL(2, R)] была построена Баргманом
[13]. Эта теория изложена в гл. 1 методом, основанным на результатах
Гельфанда, Граева и Виленкина [14].
В гл. 2 вычислены матричные элементы представлений малых групп в
различных базисах в пространствах представлений, для которых
представления малой группы при сужении
') В этой статье рассматриваются только непрерывные представления.
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЦЗ
на некоторую ее подгруппу становятся диагональными. Эти матричные
элементы как функции на данной малой группе являются в некотором
обобщенном смысле базисом в гильбертовом пространстве квадратично
интегрируемых функций на малой группе или на некотором пространстве
классов сопряженных элементов этой малой группы. Соответствующие теоремы
разложения также выведены в гл. 2. Некоторые аналитические свойства
