Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
Vp точки р, что действие Gp будет линейным. Пусть <§Р(М)- векторное про-*
странство, соответствующее этому линейному представлению Gp, тогда
VpdS'p(M). Поскольку группа Gp компактна, а многообразие М вещественно,
то это действие можно сделать ортогональным. Таким образом, S'p(M) есть
эвклидово пространство. Мы можем в дальнейшем отождествить dfp с вектором
пространства <SP (М), который будем называть (grad /)р. G-орбита точки р
- G(p) есть образ ф (g, р)\ она является под-
многообразием М. Касательная плоскость к G-орбите в точке р, обозначаемая
Тр (G (р)), есть образ dftf), где е - единичный элемент группы G. Группа
изотропии Gp преобразует орбиту G (р) саму в себя. Аналогично Тр (G (р))
есть инвариантное подпространство пространства <§р (М). Ортогональное
подпространство Np(G(p)) - Tp(G(p))xczS'p(M) также инвариантно и
называется "слоем" в точке р. Отметим, что (grad f)p е Np. В самом деле,
по определению для хеТр(М) справедливо ((grad/)р, х) - = lim[/(p-(-ax) -
/(p)]a-1. Скобка равна нулю в том случае,
а->0
*) Рассмотрим риманову метрику на многообразии М. При действии группы Gp
она преобразуется. Усредняя ее с помощью G-инвариантной меры, получаем
Ор-инвариантную риманову метрику, причем группа Gp переводит друг в друга
геодезические линии, выходящие из точки р, В окрестности Vр точки р
следует выбрать геодезические координаты.
Применение теории групп в квантовой физике
97
когда р + ах s G (р) (т. е. орбите точки р), так что она остается равной
нулю и в пределе, если .vs Tp(G(p)).
Отметим также, что (grad /)р является инвариантом относительно группы Gp.
Пусть g s Gp, тогда (g • (grad f)p, x) =
-¦ ((grad f)p, g~l ¦ x) = lim a-1 (/ (p + ag-1 • x) - / (v)) и, поскольку
a-* о
g~l-p - pt /(p + ag-1-v) = /(g"'• (p + av)) = /(p + av), to Yx s %p (m)
(g • (grad fp), x) = ((grad f)p; x). Если слой Np (G (p)) не имеет
векторов, инвариантных относительно Gp, то (grad/)p = 0. Мы можем коротко
суммировать это:
Теорема 1 '). Пусть G есть компактная группа Ли, действующая гладко на
гладком вещественном многообразии М. Если для р s М каноническое линейное
представление Gp в слое Np не содержит тривиального представления Gp, то
G (р) является критической орбитой для любой вещественнозначной G-
инвариантной гладкой функции на М [здесь мы опять обозначаем одним и тем
же символом, например символом SU (2), векторное пространство подалгебры
Ли и саму группу!].
Пример 1. Мы уже рассмотрели действие SU (3) на сфере S7 с: <!Г8. Пусть q
есть единичный ^-вектор, Gq = U2 (q), Tq(M) = = {?}¦*¦<= ar8, Tq(G (q)) =
U2(q)1, N q (G (q)) = SU2(q) и U2(q) действует на Tq линейно, без
неподвижных точек.
Пример 2. Пусть р есть изолированная неподвижная точка в М. Тогда в
окрестности Vp точки р нет других неподвижных точек и в Np = <Sp(M) не
существует вектора, инвариантного относительно G = GP.
Это доказывает, что р - критическая точка для каждой G-инвариантной
функции на М.
') Радикати и я включили теорему 1 в более полную теорему!
Теорема 1'. Пусть О - компактная группа Ли, действующая гладко на
вещественном многообразии М и р е М. Тогда следующие три предложения
эквивалентны:
а) орбита точки р является критической (для всякой О-инвариантной гладкой
вещественнозначной функции f на М, d/p = 0);
б) орбита точки р изолирована в своем страте, т. е. Э окрестность Vр
точки р, такая, что если леКр и хфОр, то Gx не сопряжена 0Р;
в) каноническое линейное представление Gp в слое Np не содержит
тривиального представления.
Теорема 1 есть просто выражение эквивалентности утверждений "в" и "а".
68
Л. МИШЕЛЬ
Предположим теперь, кроме того, что многообразие М компактно. Тогда
существует один страт (называемый порождающим стратом), который является
открытым плотным подмножеством в М. Минимальные страты замкнуты и
компактны. Пусть С - связная компонента минимального страта, и пусть для
ре,С Fpcz8p есть линейное подпространство неподвижных точек относительно
группы Gp, Поскольку группа Gp максимальна, то для точек пространства Vp
П Fp она является стабилизатором, так как эти точки принадлежат С. Для
данной G-инвариантной вещественнозначной гладкой функции / обозначим n =
(grad/)p. Как мы уже видели, так что для
достаточно малых | е |, р -(- еп е С можно записать
(и, п) = lime"1 (f(p + en) - f(p)), (5.41)
е->0
так что если функция / постоянна на С, то каждая реС является критической
точкой функции. Если / не постоянна на С, то имеется по крайней мере одна
орбита, где она максимальна, и одна орбита, где она минимальна. Пусть р -
точка такой орбиты, a n = (grad/)p. Тогда в уравнении (5.41)
) ^0, если / минимальна в р,
f(p-{-en) - f(p)\^r> г
r J 0, если / максимальна в p.
Это означает, что величина (п, п) либо должна иметь знак (±в) [(+) в
минимуме, (-) в максимуме], что невозможно, либо должна быть равна нулю.
Теорема 2'). Пусть G - компактная группа Ли, действующая гладко на
вещественном компактном многообразии М, и пусть / - вещественнозначная
