Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
откуда в свою очередь следует
V3^1 V О = У"3сг V с2 = V^3c3 V с3 = с, (5.35)
где
съ - с{Ас2. (5.35а)
Это означает, что с, си с2, с3 образуют базис в Uc(2). Отметим также, что
с, с3е[/9(2). Псевдокорень с называется "слабым
94
Л. МИШЕЛЬ
гиперзарядом", или "гиперзарядом Кабиббо". Для слабых взаимодействий он
сохраняется. Он коммутирует с q, с А <7 = 0, следовательно, (с, q) = -
'/а- Однако с оператором у он не коммутирует. В самом деле, существуют
слабые переходы, нарушающие закон сохранения гиперзаряда. Эта
некоммутатив-ность приводит к тому, что значение (у, с) не равно (-'/г),
а именно
(у, с) = 1sin20, (5.36)
где 0 - угол Кабиббо. Как мы уже видели в разд. (3.6), его
экспериментальное значение равно 15°. Довольно хорошо подтверждается
также, что и определяют одно и то же направление с слабого гиперзаряда').
Значение этого угла дается эмпирической формулой tgQ = trm/ntk. Теория
Кабиббо объяснила не только относительно меньшую вероятность2) (множитель
tg20!) слабых переходов с несохранением гиперзаряда у, но и то, почему
сверхразрешенный ядерный |3-распад с ДГ = 0 происходит медленнее
(множитель cos20), чем распад р. -> е + v + v.
"Вычисление" этого угла 0 представляет собой одну из ответственнейших
проблем сегодняшней физики. Стоит отметить чисто алгебраическое
соотношение, дающее зависимость q от у и с. Пусть имеются два
некоммутирующих (положительных и нормированных) псевдокорня у и с,
тогда всегда суще-
ствует один-единственный псевдокорень, который коммутирует с ними обоими,
это
Kq = Vby Vc + {(y + c), (5.37)
где
Я. [1 ~{У, с)]. (5.37а)-
Обычно наиболее часто используется следующая форма записи нелептонного
слабого взаимодействия:
^нелепт : = ~Sf 2 J А** (х, се) Ад (х, с_е) ^х. (5.38)
' е~±1
•) Точнее, угол с0 и са с у остается одним и тем же, но cv и са могли бы
составлять небольшой угол друг с другом. Это можно использовать как
возможное объяснение нарушения СЯ-инвариантности.
2) Точнее, это не просто вероятность, а относительная вероятность
перехода, равная отношению вероятности перехода к объему фазового
пространства. Фазовые пространства, которые должны быть в точности равны
в SU (З)-симметрии, фактически не равны друг другу.;
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
95
Недостатком этой' формы является то, что Наелепт есть образ приводимого
тензорного оператора, содержащего в качестве некоторой компоненты НП "27"
группы SU (3). Из выполнения правила \Т = 1/2 для слабых переходов с
|ДК|=1 следует, что этой 27 компонентой можно пренебречь по сравнению с
компонентой октета. Предложение Радикати [83]
янелепт = J (А" (х) V Лд (*)) (с) d3\ (5.39)
делает Янелепт компонентой неприводимого октетно-тензорного оператора,
направленной вдоль слабого гиперзаряда с. Это не противоречит известным
экспериментальным данным.
5.4. КРИТИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ G-ИНВАРИАНТНОй ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИИ М ")
Если группа G действует на многообразии М, то множество всех точек М,
малые группы которых сопряжены друг другу, называется стратом. Таким
образом, страт представляет собой объединение всех орбит одного и того же
типа. Возникает частичное упорядочение всех подгрупп данной группы по
модулю сопряжения. Это в свою очередь соответствует упорядочению
(обратному) в стратах. Множество неподвижных точек образует минимальный
страт (максимальная группа изотропии G). Если при действии G на М
неподвижные точки отсутствуют, то может иметься несколько минимальных
стратов.
Например, в разд. 5.2 мы уже видели, что при действии SU(3) на единичной
сфере S7 октетного пространства существует ^открытый плотный общий страт,
а именно | (х V х, х) | < < l/Уз. Он содержит однопараметрическое
семейство шестимерных орбит [малая группа У(1)ХГ (1)], а минимальный
страт состоит из двух четырехмерных орбит (х V х, х) = ± l/Уз. В данном
разделе мы предполагаем рассмотреть следующее:
а) гладкое 2) действие компактной группы Ли G на гладком многообразии
М. Это действие дается гладким отображением
G X М -> М, где <j>(gu j>(g2, m)) = j>{glg2, m);
*) В этой части лекций излагается совместная с Радикати работа, частично
опубликованная в трудах конференции в Корал-Гейблс в 1968 г. [84], а
частично размноженная в виде препринта.
2) Термин "гладкий" используется вместо термина "бесконечно диф^
ференцируемый".
96
Л. МИШЕЛЬ
б) вещественную гладкую функцию М /?, которая G-ин-вариацтна, т. е.
эта функция постоянна на каждой G-орбите многообразия М:
g<=G, те=М, f(f(g,m)) = f(m).
Дифференциал в точке е Mi гладкого отображения Alj-¦> М2 обозначается dty
. Это линейное отображение [с т2 = = тф (тх)]
(5.40)
где Тт (М{) является касательной плоскостью к Mt в точке т{. Таким
образом, dfp^T'p(m) - дуальное векторное пространство к Tp(tn). Назовем
критической такую точку р^М, для которой dfp = 0.
Стабилизатор Gm (малая группа, группа изотропии) в точке т^М является
замкнутой и, следовательно, компактной подгруппой компактной группы G.
Как известно '), можно выбрать такие локальные координаты в окрестности
