Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
пространств &su'(Ui) и действующих в них представлений Usu'(Ui)' В
дальнейшем мы будем обсуждать только представления с параметрами,
указанными в формуле (1.3.43). Для таких представлений можно опустить
проекционные операторы в формулах (1.3.40) и (1.3.42). Единичное
представление в дальнейшем рассматриваться не будет.
р -> (и, I, г;):
и =
и :
и :
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 129
Все представления указанных серий неприводимы, за исключением особого
случая и= 1, I - - 1 из основной серии. Доказательство этого утверждения
основано на применении леммы Шура к унитарным представлениям в
гильбертовых пространствах. Согласно этой лемме, представление
неприводимо тогда и только тогда, когда любой ограниченный оператор, с
ним коммутирующий, кратен единице. Пусть С - ограниченный оператор,
коммутирующий с представлением Usu\ 1%. Так как оператор С коммутирует с
сужением этого представления на диагональную подгруппу #1 = {Л е St/(1,
1): Лы = Ah = 0}, то оператор С также диагоналей в базисе {ev}. Для его
собственных значений cv получаем соотношение
для любого А <= SU (1,1). Матричные элементы будут явно вычислены в разд.
2.3. Забегая вперед, отметим, что они, вообще говоря, отличны от нуля для
любых v и v'. Следовательно, оператор С кратен единичному.
Представления с параметрами, указанными в формуле (1.3.43), являются
представителями всех классов эквивалентности неприводимых унитарных
представлений группы St/(1,1); иными словами, любое неприводимое
унитарное представление группы St/(1, 1) эквивалентно одному из них.
Подробное доказательство этого утверждения можно найти, например, в
работе Та-кахаси [16].
Для дальнейшего удобно рассмотреть еще одну реализацию представлений
дискретной серии. С этой целью совершим аналитическое продолжение
элементов подмножества внутрь
единичного круга (геС: |z|<l], сопоставляя элементу / =
Вводя в полученное пространство скалярное произведение
мы приходим к гильбертову пространству содержа-
щему функции, голоморфные внутри единичного круга и
(cV'- cv) (eV' I Usu\u 1)(Л) ev)su ^ ,> = 0
00
00
I z I < 1
z = x + iy,
130 м. ШААФ
имеющие нуль порядка / + и + 1 или более высокого в начале координат.
Изоморфизм гильбертовых пространств и
осуществляется следующим образом:
&sub+i) э / = 2 fvev -*f'= 2 /v< е $su (i +i)>
r+*+i i+k+i (1.3.45)
u+i)э f' -"f: f ((r)) =lim f' (z)e (r)si/(iti)-
Z->0) '
Преобразование z -> .гЛ = (гЛ u + Л21)/(гЛ12 + Л22), принадлежащее группе
SU (1, 1), внутри единичного круга можно рассматривать теперь как
аналитическое продолжение соответствующей операции со -> соЛ на границе
круга. Поскольку I - целое число, представление (1.3.40) можно записать в
виде
(Usu\u\) (А) /) (со) = (иЛ12 + Л22) 1 (со Л21 + Ли) /((c)Л),
так что его можно аналитически продолжить внутрь единичного круга и
получить представление
(tflb'i.li) 04)/')(*) =
= М,2+ A22rl~[(z~lA2l +АиГ1~*~1 f'(zA) (1.3.46)
в пространстве ^ В силу формул (1.3.45) и (1.3.44) это представление
унитарно эквивалентно представлению Usu(i?i)-Аналогичным образом можно
реализовать Usu'(iTd путем аналитического продолжения вовне единичного
круга. Мы, однако, воспользуемся другим способом, преобразовав прежде
представление Usu'(lu с помощью унитарного отображения
&su о, ии. (Lnf) (со) = сои/(со ') (1.3.47)
на представление
L*UfJ\,7i)Lx ' = U*su\u\), U%\,+ o (A) 1 ?/&/(,% (A'). (1.3.48)
Теперь это представление можно продолжить внутрь единичного круга, и мы
получим
U'su',(i,i)= U'su\i+i)> U'su'iu d(A) = U'su\\+1) (А'). (1.3.49)
Отметим также антиунитарную эквивалентность представлений U'su\ill) и
U'su\ГГ 1)- Используя антиунитарный оператор
к- "si.*,-"s5S.V ocww-w, <!=vsi/ily (1'3-60)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 131
мы получим
K'^su^niA) ?/'si/(.ti) (Л = ?/'si/(i7.) И). (1-3.51)
Заметим в заключение, что ядро, отвечающее единичному оператору в
пространстве ^{jt, имеет вид
'S?/(l, 1)'
(у + 0
(v - / - х - 1)!
г+x+i
(2/ + х+ 1)1 (г'г*),+1|+1 (1-z'z*)
*\2i+x+2 • (1.3.52)
1.4. НЕПРИВОДИМЫЕ УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГРУППЫ ?(2)
Обозначим элементы группы ? (2) следующим образом:
Е (2) =э (е^2, z) = A, А" = А*22, z = AuAi2. (1.4.1)
Одновременно это задает параметризацию группы Е (2), причем
0^ф<4я, геС. (1.4.2)
Закон композиции в группе Е (2) имеет вид
(ег<р/2, z)(ef<p,/2, z') = {е1 (ф+ф')/2) z + ef(pz'), (1-4.3)
так что группа Е (2) изоморфна полупрямому произведению
группы вращений плоскости SO (2) на аддитивную группу ком-
плексных чисел С, SO (2) (c)С, с d-операцией: SO (2) ->Aut С, d<p (z) =
ei4>z. Поэтому все неприводимые унитарные представления группы Е (2)
можно получить тем же методом, который был описан в разд. 1.1 для самой
группы Пуанкаре.
I. Характеры абелевой инвариантной подгруппы (1, С) с ? (2) равны
(1, z)-*x4z) = егКе<?*г>, ?е=С, (1.4.4)
т. е. группа характеров совпадает с аддитивной группой С.
II. Орбиты группы SO (2) в группе характеров С являются окружностями с
