Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мишель Л. -> "Симметрия в квантовой физике" -> 53

Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.

Мишель Л., Шааф М. Симметрия в квантовой физике — М.: Мир, 1974. — 251 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavkvantovoyfizike1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 81 >> Следующая

(2.5.4). Таким образом, мы имеем унитарное отображение пространства
$su\i, i> на гильбертово пространство $sJ,'I(1) пар функций /" = (/",/")
на вещественной оси со скалярным произведением
+ оо
(rig'Vsuii0,^ J dk 2 Г'ЛХУТ'?1(Х)?(Х) =
X', х=±
= (f\g)0'1,0 (2-5-16)
м 1 s/sm 1,1)'
7V/° 1 /л ч | Г (- / + IX) I2 /. , . | . А
7V, х (л) = J --- (б-t'-t ch лЯ -f 6т', -т cos it/).
150
М. ШААФ
. сЛ1'0
Форма скалярного произведения в этом пространстве Vsua.i)
следует из интегральной формулы
Г (- I - х/2 - IX) Г (- / - х/2 + IX) у.
(2.5.17)
которая справедлива для всех I в полосе (зеС: - 1 < < Re(z -f и/2) < 0}.
Очевидно, что это пространство можно представить в виде прямого интеграла
приобретает вид формул (2.5.12) и (2.5.13), так что проблема редукции для
дополнительной серии имеет то же решение, что и для основной серии.
Соотношения унитарности, соответствующие формулам (2.5.14), принимают вид
г', т=± -оо
Переходя к дискретной серии, мы вначале модифицируем эвристическое
рассуждение, приводящее к формуле (2.5.4). Из построения реализации этой
серии, данной в формуле (1.3.46),
рассматривать как предельные значения функций, аналитических внутри или
вне единичного круга. Если функция / в формуле (2.5.4) обладает такими
предельными свойствами, то неудобно использовать интегральные ядра (со),
сосредоточенные только на половине границы единичного круга. Поэтому мы
построим линейные комбинации величии (<*>), которые
- ОО
где С? (Я) - двумерное комплексное гильбертово пространство с метрикой,
определяемой матрицей Т"0'1 (Я). Сужение представления У Sufi, и | #2,
реализуемое в пространстве снова
следует, что элементы пространства $su'(u в> Л= ±> можно
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 151
заведомо отражают поведение функции f. Определим две функции, однозначные
и аналитические соответственно внутри и вне единичного круга:
V / , Ч_ г (I +/ + Х/2 + IX) / 1 1 +Z4-i-/-x/2+a
(r)+. A w - ^ I уТ / I К2 /
oj*- ^ (z) = z*w*' l% > (2.5.20)
, 0l + '+x/2 Г (1 + / + x/2 + /Я)
Z tW+,x(Z) |г_0 = 2 •
На множестве дК.+ [)дК- они принимают значение
щ|^г (о) = lim w*'kl (z) =
г-Ю)
Г(1 +l+x/2 + iX)
^ егтЧ(1+/+х/2+а)я/2фх^((())_ (2.5.21)
/2л
т'=±
Легко видеть, что w^lk - однозначная аналитическая функция в комплексной
плоскости z с разрезами на вещественной оси от -оо до -1 и от 1 до + оо,
Если использовать в формуле (2.5.4) вместо функций <р^г (со) их линейные
комбинации w*k' (со), то мы получим
(р*-1' 'У) (со) = 2 Кх ((r)) h (я)>
т=± (2.5.22)
^ ^ = 25Г § IT Кх~1~*~1 N' f (")•
Требование, чтобы функция f была предельным значением функции,
аналитической внутри (ri = +) или вне (ri = -) единичного круга, можно
выразить в виде двух эквивалентных условий:
(Р*' '• 7) (со) = (со)/, (Я), ~!_ц (Я) - 0. (2.5.23)
Теперь несколько модифицируем интеграл в формуле (2.5.22), определяющей
функцию ^(Я). Прежде всего совершим аналитическое продолжение соотношения
(2.5.17) во всю комплексную плоскость I за вычетом точек ±/Я - '/гк + л,
п = 0, 1,
2 где Г-функция в ядре Т"* '(Х) имеет полюсы, а также
точек ± 1'Я - V*x- 1 - п, в которых матрица Я)
|52 М. ШААФ
вырождается. При всех остальных комплексных I справедливо равенство
^ Р& (X) еd+'+^+W ^ =
Хп=±
- т Г (- / - х/2 + iX) lVx (_/_х/2+а) п/2 /о к од\
Г(1 +/ + Х/2 + iX) е >
/ -ф- ± iX - х/2 -f- л, л = О, ±1, ±2.......
Используя формулу (2.5.21) для целых 1^0, мы получаем выражение для
оператора Тц'г, который, согласно формулам (1.3.30), ограничен
пространством
(rff*' V* ) (со) = (/>*' ЧГг"х"') ((c)). (2.5.25)
Здесь Р*'1 - оператор проекции на пространство ЗГ^1. Таким образом, можно
представить функцию f^(X) через скалярное
произведение в пространстве $>su\u i)> определенное в формуле (1.3.41):
= (2.5.26)
Точное решение проблемы редукции для дискретной серии будет дано только в
случае tj = +. Другая часть этой серии, со-
/ X, I, + \*
гласно формуле (1.3.49), может быть реализована как \U'su(\, о/ • Мы
воспользуемся результатами приложения А. Там показано, что функции
кЪ1 (X) =
s Г (1 + / + х/2 - iX) а1 + ;+х/2 ' (н + / + х)1 т/а
____________________1_
X
V2п L (JLL - / - 1)! J Г(2/ + х + 2)
X Р (1 ~Ь / - Ц, 1 -f- / -f- х/2 -f- iX; 21 -f- x -f- 2; 2), (2.5.27)
p. = / -f- 1, / + 2, ...,
образуют ортонормированный базис в гильбертовом пространстве |>+= i?2
(R). Согласно формуле (А.5), разложение функции
W '
w+ "(2) имеет вид
1г. (z) = 2 фГ ' + (г) К? 1 (Х)\ (2.5.28)
n=/+i
х w - ^ т'*' '* + ^ 1
и=/+1
Г ,Х, I, +>
где (фц } - ортонормированный базис в пространстве пред-Ставлений $'su^
Поэтому функция w*- lK (z) является цнт§-
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 153
1• +
тральным ядром унитарного отображения пространства vst/(i,i) на |>+:
f + (Л) = J d\L*-1 {z)w* \{z)'f'{z),
+1° (2.5.29)
f'(z)= J dXw^lk(z)f+(X).
Эти формулы соответствуют формулам (2.5.26) и (2.5.23). Представления из
дискретной серии действуют в пространстве |>+ следующим образом:
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed