Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
[10]), то проблема редукции имеет единственное решение, т. е. существует
такое унитарное преобразование А, которое переводит сужение Ua \ Я в
прямой интеграл неприводимых унитарных представлений %° группы Я:
Ш = (c) f Vdv р (о) ?& а, AV"q\hA-x= (c) f dvp{a)x°. (2.2)
я я J
Здесь а - параметр, пробегающий множество Я классов эквивалентности
неприводимых унитарных представлений группы Я, vp - мера на группе Я,
определяемая этим разложением, Ф<з' ° - компонента пространства
представлений А&о, на которой действует представление %а. Пусть
"о;т::=1" 2- dim а}, ".а|<0>фр, о = бт'т, (2.3)
136
М. ШААФ
- ортонормированный базис в пространстве $о а. Тогда для f мы имеем
разложение
Матричными элементами представления Ua относительно базиса, отвечающего
подгруппе Я, мы называем обобщенные интегральные ядра Ua(A)x,a, ха,
которые определены формулой
(Для компактной группы Нх прямые интегралы сводятся к прямым суммам, а
матричные элементы существуют в обычном смысле.) Эти матричные элементы
будут вычислены в разд. 2.2-2.5. В некотором обобщенном смысле они
являются полными ортонормированными базисами в гильбертовых пространствах
квадратично интегрируемых функций на малых группах. Это показано в разд.
2.6. В разд. 2.7 мы используем эти базисы для обобщенного фурье-анализа
квадратично интегрируемых функций в пространствах классов смежности G/H.
Матричные элементы представлений группы SU (2) в базисе, связанном с Ни -
это элементы матрицы представлений группы вращений, хорошо известные в
квантовой механике. Матричные элементы представлений группы SU (1, 1) в
базисе Нх были вычислены впервые Баргманом [13]. Решение проблемы
редукции для сужения представлений группы SU (1, 1) на подгруппу Н2
посредством алгебры Ли дано в работе Мукунда [19]. Этот результат
подтверждает высказанное Баргманом [13] утверждение относительно
кратности спектров генераторов однопараметрических подгрупп группы SU (1,
1). В разд. 2.5 мы даем глобальное решение проблемы редукции для сужения
Usu (1,1) I Я2 и вычисляем соответствующие обобщенные матричные элементы.
Некоторые из них были вычислены ранее Виленкиным [20] и использованы при
выводе формул для гипергеометрических функций Формула Планшереля для
квадратично интегрируемых функций на группе SU (2) содержится в
знаменитой теореме Петера - Вейля для компактных групп Ли. Для
некомпактной группы SU( 1, 1) эта формула была впервые явно доказана в
работе Хариш-Чандра [21]. Представления, необходимые для этого
разложения, были найдены ранее Баргманом [13]. В разд. 2.6 дано другое
доказательство, использующее аналитические свойства матричных элементов,
(2.4)
(Upa (А) !)х,а, = J d% (о) % Ua (Л)т,а,, та fxa. (2.5)
И
т
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 137
которые представляют особый интерес для S-матричной теории элементарных
частиц. Этот подход дает возможность одновременно рассматривать
представления групп SU (2) и S?/(l, 1). Использование матричных элементов
группы SU (2) для разложения квадратично интегрируемых функций на сфере
отмечалось в работе Гельфанда, Минлоса и Шапиро [22]. Что касается
установленных в разд. 2.7 теорем разложения для квадратично интегрируемых
функций на однородных пространствах G/Н, то другие литературные источники
нам не известны.
2.1. НЕПРИВОДИМЫЕ УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП = SU (2) П SU (1, 1) И
H2 = SU( 1, 1) П SL (2, R)
Пересечением групп G (е(0>) = SU (2), G (е(0) + е(3)) = Е (2) и G (е(3))
- SU (1, 1) является группа
( /е1^ 0 \ )
Я,ЦС(Ф)^ 0 е_г<р/2 j : 0<ф < 4я |. (2.1.1)
Очевидно, она изоморфна группе вращений эвклидовой плоскости SO (2). Ее
неприводимые унитарные представления имеют вид
С(ф)^Ои'^С(Ф))^х*'^Ф) Ww/2)4>,
V, = 0, 1; р = О, ±1, ±2, ... .
Они удовлетворяют условиям ортогональности и полноты:
4я
J ^Х^Ч-ф^'^Ф^Мщ*, (2.1.3)
о
+ оо
2 2 Xй' * (ф) Xй' 11 (- ф') = 4я6 (ф - ф'). (2.1.4)
Х=0, 1 Ц=-оо
Группы G (е(2)) = SL(2, R) и G (е(3)) = SU (1, 1) пересекаются на группе
Н2:
( / chi/2 sh l/2\ }
a-e(sh|/2 ch|/2j:e=±l, - со < ?< CO j.
(2.1.5)
В силу закона композиции
D(e', l')D{г, l) = D{z% $'+ ?) (2.1.6)
138 м ШААФ
группа Я2 изоморфна прямому произведению циклической группы второго
порядка Z2 на аддитивную группу вещественных чисел R : Z2 (r) R.
Неприводимые унитарные представления группы Н2 имеют вид
D (в, |) -* U"' Л (D(e, $)) = хп' Л (е, |) = вкеа\
я = 0, 1; -оо < Я < оо.
Они удовлетворяют условиям ортогональности и полноты:
+ оо
IS J fx'1'-1'!", -У Xй-"(е, |) = бх'хб(Я'-Я) (2.1.8)
е=± -оо + оо
Т 2 J YTХ*' * (е- У X*' * (е'> " ^ = бе'еб ~ ^ 1 -9>
Х=0, 1 -оо
2.2. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМЫХ УНИТАРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ SU
(2)
В БАЗИСЕ, СВЯЗАННОМ С ПОДГРУППОЙ Я,
Ортонормированный базис в пространстве имеет вид
| ф*.' : - I - я < р < I, ф*-' (zp z2) =
г}-
г1 z2
(2.2.1)
[(/ + х + р)! (/ - р)!]'
ЛЬ*;1 ] гЬи' l\v" 1 =5
I тц /§и(2) М- М-
Из формул (1.2.2) и (1.2.3) получаем
u*su\2) (С (Ф)) <' ' = Xй- " (Ф) (2.2.2)
