Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
формуле (1.4.11), имеет вид
{г|?х. р = о, ±1, ±2, ... :ф?х(С) = (е//рГ,'},
/ , р, х I ,р, х\Р-и . (2.4.1)
\Фи' I Фи >Е (2) - ^U'U-
Ив формулы (1.4.16) следует
Ий) Wm> 0) Фи *) (;) = Xх-11 (ф) ф?х (&). (2.4.2)
146 М. ШААФ
Поэтому базис {ф?х) связан с подгруппой Нх. Неприводимое
X (2)"
представление xKtl группы содержится в представлении Ueс
р > 0, ровно один раз, если х' Матричные элементы
Ue й) (Л)ц'ц = ("фР''Х | Ue (2) (Л) фЦ' *)Е (2) (2.4.3)
легко могут быть представлены в виде интеграла, приводящего к функциям
Бесселя
UPE(2) = (Л"/| An I f'+*+* (Л12/| А12 If-** uX (I Ли I2), 4
UX W 53 JW-\i (р 0 < 2 < °°- ' Л
Соотношение симметрии
(-1 f "** и*Г'-х. (*) = их (г) = (2) (2.4.5)
непосредственно следует из соотношения для функций Бесселя /_" = (-1 )п
Jn. Поэтому для матричных элементов Ue(2){A)^ получаем
(-1)"'-" иП) (А\^ = (Л)_14,_х_ =
= (-l)^t/&(2)U"V- (2-4.6)
2.5. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМЫХ УНИТАРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ SU
(I, 1)
В БАЗИСЕ, СВЯЗАННОМ С ПОДГРУППОЙ Н2
Чтобы подойти к проблеме редукции для сужения неприводимых унитарных
представлений группы SU (1, 1) на ее некомпактную подгруппу H2 = SU(l,
l)nSL(2, R), начнем с чисто формальной проекционной техники. Оператор
J Ux^(e, ?) t/?/<>% Ф (е, ?)) (2.5.1)
?= ± -оо
обладает свойствами проекционного оператора
[рХ. I. Ч]+ = рХ. I, pH; /. ЧрН. I, 4 = g (д/ _ ^ рХ. /. т,# (2.5.2)
Так как
C/silti 1,(D (в, ? ))Р1-1'^%Л(ъ, (2.5.3)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 147
мы можем интерпретировать Рк'1,ц как оператор, выделяющий
из сужения Usulu i) I Я2 неприводимое унитарное представле-
ние %
X, X
Из определения (2.5.1) имеем
+ оо
(
2я '
(РЪ '• 7) (со)= J ? е"Л6 | со sh т + ch 1/2 г2,-2х-2 X
X (со sh g/2 + ch т* f (соD (е, ?)) = У (со) f" (Я),
/"W
2я/
Г $ (") f (")> (2.5.4)
qX/2 CO - CO-1 -/ -X/2 -1 1 - CO
ФxK ((r)) = 2 1 + CO
0
-IK
при signImco = T,
со
,и/2;
в других случаях,
е(и (arg ш)/2) -Л ^ arg СО < Л.
Подстановка
I -*• со' = coD (е, ?),
(2.5.5)
использованная в формулах (2.5.4), указывает на следующее разбиение
границы дК единичного круга на орбиты по отношению к подгруппе #2:
дК = {со "= С : | со |= 1} = дК+ U дК- U {1) U{-1}.
(2.5.6)
дКх = {со s дК. : sign Im со = т}, т=±.
Из этого разбиения видно, что любое подпространство пространства $su\ui)t
состоящее из функций, сосредоточенных на одной из орбит, инвариантно
относительно сужения Us'u'v, и | Я2. Орбитами (1) и {- 1 ], имеющими меру
нуль в множестве дК,, в дальнейшем будем пренебрегать.
Точное решение проблемы редукции будет дано сначала для основной серии.
Прежде всего совершим унитарное отображение пространства представлений
$*'и\i°. D на гильбертово про-х / О
странство состоящее из пар функций f' = (f'+, f'Jj,;
l + ire~4 -дК, R,
(2.5.7)
ne
-4
148 М. ШААФ
заданных на вещественной оси со скалярным произведением (f'lsJsun.i)(tm) 2 J
= (2.5.8)
т"± -оо
Преобразование Фурье
+ оо +оо
ЖЛ) = J Ш= J d\e^f%(K) (2.5.9)
- ОО -00
с./4' *¦ 0
дает еще одно унитарное преобразование пространства vsuц, ц
г //Н. 0
на гильбертово пространство Vsmi, щ состоящее из пар функций /" = (/",
fl), заданных на вещественной оси со скалярным произведением
(Г 18")fuiCi) i w* ё" W (f I ёУ^иа, " •
(2.5.10)
- oo
,"Xt/,0
Мы можем придать пространству Vst/(i,i) структуру прямого интеграла
двумерных комплексных гильбертовых пространств:
+оо
?s?(1,°1) = (r) J /5яс2. (2.5.11)
- 00
Рассматривая преобразования, принадлежащие сужению
I О I "У"1'0
Usub, i)|^2 в пространстве получаем
(ufv!;,]) {D (8, i)) f") (Я) = (е, |) f" (Я). (2.5.12)
Это полностью решает проблему редукции для сужения
х /, О
Usu\i,i)\Ha, так как сужение t/st/ц, ц| имеет вид прямого интеграла от
неприводимых унитарных представлений xx',x группы Н2:
+ °о
U%ul^i)\Ha=(r) J ЙЯ(хх-^(r)хх>А), (2.5.13)
- ОО
причем каждое из представлений входит ровно два раза при условии, что %'
= х. Этот результат согласуется с утвержде-
редукция Произведения двух Неприводимых Представлений 149
нием Баргмана [13] относительно спектра генератора, принад-
х / О
лежащего подгруппе Я2. Переход к пространству $su\L i). который решает
проблему редукции, был произведен в соответствии с эвристическим
рассмотрением в начале этого раздела. Как легко видеть, фурье-образ f" в
формуле (2.5.9) совпадает с функцией f" в формуле (2.5.4), которая,
согласно (2.5.3), формально удовлетворяет соотношению (2.5.12). Функции
ф*^г, определенные в формуле (2.5.4), играют роль ядер интегральных
операторов для отображения пространства представлений - "X, 1, о
в пространство Vsirn, i). Унитарность этого отображения выражается
формулами
+оо
S J d)W%K (<*') 4>xil (<о)* = 2лб(- ±^~)- (2.5.14)
X', Т=± -ОО
Для дополнительной серии рассмотрим преобразование
ГЛ) = -ш§%<&Г1-'ЫЧЫ.
^ Г (2.5.15)
/(")= 2 J (")?(*).
т=± -00
содержащее комбинацию преобразований, аналогичных формулам (2.5.7) и
(2.5.9). На мысль о возможности такого преобразования наводит формула
