Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. определение (2.2.1) дает базис, отвечающий группе Н\, Неприводимое
унитарное представление %*'¦11 группы Я, содержится в представлении
Us'uv) только один раз и притом при условии, что я' = я и -I - х<!р<Д.
Матричные элементы представления Us'uv) в указанном базисе получаются с
помощью биномиального разложения из
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 139 формулы
№1<2)(Л)<',)(2Р Z2) =
_ ОМп + М21)/+и+11 (2.Л12 + м22)'~^
[(/ + *+ р)! (/-ц)!],/2
I
= 2 Ф1(2\, Z2)Utu(2){A)^',
i*'-(2.2.3) И (^)ц'ц = г I (2) (Л) ф?' ')su (2).
В результате
t/sn'(2, (Л)^ = (Ап/1 Л" Г'+"+"(Л12/1Л12 If-^'d л12 Р),
й'Х (х) " (2.2.4)
_ т /~ г (1 + г + ц'+х)Г(1 + г - ц) /и.-т/г/] .(n'+ii+x)/2v
-+ К Г (1 +/ + ц + х)Г(1 +/-ц') V А
X Г(ц'-ц+ l)'2^1 № - р'+/ + х+ 1; р' -р + 1; *),
1.
Здесь гипергеометрическая функция 2Л сводится к полиному, так как р'- I -
неположительное целое число. Имея в виду аналитическое продолжение
матричных элементов иХ&){А)^Г , которое обсуждается в разд. 2.6,
перепишем формулу (2.2.4) в несколько измененном виде:
UU 2) (А)^ = (Аи/А22Г+^12 (АМГ'-^йХ (- AM,
(2.2.5)
где однозначная аналитическая функция, заданная в ком-
плексной плоскости z с разрезом вдоль вещественной оси от О до -f оо и
вещественная на отрицательной полуоси:
йХ (г) =_____________________________
_ Г (1 + / + Ц' + и) Г (1 + / - ц) /_ ч(ц'-Ц)/2/| ,(ц'+ц + х)/2 v
-+ V Г (1 +/ + р + х)Г(1 +1-W) к у ' х
X г (|1, +-jy- 2^1 О*' - U р'+Л-к+l; р' - р+1; г). (2.2.6)
Для функции
й'^'4 (z) = exp [in sign (Im z) (p' - p)/2} йХ (z), (2.2.7)
140
М. ШААФ
очевидно, имеем равенство
1 (* ± *0) = till'll ' (х), 0 ^ х ^ 1.
и потому формула (2.2.5) при Ап = совпадает с (2.2.4).
Чтобы вывести соотношения симметрии для матричных элементов (2.2.5),
рассмотрим линейный оператор Т% и антили-нейный оператор /С* в
пространстве §si/(2):
(TKf)(zi, z2) = f(-z2, zi), (K*f)(zi, z2) = f(-z*2t z')*,
' = (- 4>-,/-x = '• (2.2.в)
Они удовлетворяют соотношению
= x>/ =Kl (2.2.9)
VS U (2)
Оператор Ги связывает представление Usuw с представлением, ему
контраградиентным, а оператор /Си коммутирует с этим представлением:
T*UKSU(2) (Л) П1 = UfJ{2) (Л"'Г), KxUs'u (2) (Л) Ах ' = ?/s'?/(2) (Л).
(2.2.10)
Отсюда следуют соотношения симметрии для матричных элементов вида
(2.2.5):
UsU (2) (Л 1Г)(1/(1 =
К'!" <2> =<2> = "Ь! <г)-
Разумеется, эти соотношения могут быть получены также из таблицы формул
для гипергеометрических функций. Приведенный здесь вывод является
примером допускающего богатые обобщения метода обратного подхода: вывода
формул для специальных функций из теории представлений групп.
2.3. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМЫХ УНИТАРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРУППЫ SU
(I, 1)
В БАЗИСЕ, СВЯЗАННОМ С ПОДГРУППОЙ Ht
Согласно формуле (1.3.8), в базисе {ev} в пространстве SF имеем
(Г*'' (С (Ф)) вч) (со) = X*'V_X (Ф) ev (со). (2.3.1)
Для унитарных неприводимых представлений Usu'u, ц. получаемых из Гх'г,
отсюда очевидно следует, что представление Xх'11
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 141
группы Hi содержится ровно один раз в представлении Usu'u, ц. если х' =
хи если векторец+к содержится в пространстве^su'a, ц. Таким образом, {ev}
есть базис, принадлежащий группе //,. Однако в силу формул (1.3.36) -
(1.3.41) элементы базиса ev имеют различную нормировку в разных
гильбертовых пространствах. Эта нормировка может быть записана в виде
(кроме единичного представления)
(eV'j, = oV'v ^jv+T+iy ' (2.3.2)
ATK* * •
Фц = Нц бц+х • P ----------------
Поэтому в дальнейшем мы будем использовать ортонормиро-ванные базисы в
гильбертовых пространствах представлений*
О, ± 1, ±2, ... при г) = О,
+ 1, +2, ... при Ti=-f,
- 1, -2,... при г)=-; (2.3.3)
| дги, i\2 | Г (р + I + х + 1) |) I, г) | _,_и, i,n\K-1-11
"
N•* I I Г (ц - /)-----------(/' 'sc/(1,р = Vii*
Нормировочный множитель N^'1 можно считать значением функции
<'_рм + ' + -+ '>]¦'¦ (2.3.4)
в комплексной плоскости I, взятым в точках, отвечающих унитарным сериям.
Функция Г (р + / + * + 1)/Г (р -/) имеет нули
в точках р, р + 1, ... и полюсы в точках - р-х- 1, - р-х-2...........
При р ^ - 1 обе последовательности перекрываются и нули и полюсы, лежащие
между р и - р -х - 1, компенсируются. На вещественной оси знаменатель
положителен при I < р,
а числитель положителен при />р -х-1, т. е. в области между нулями и
полюсами они имеют разные знаки. В точке I =- /2(1 + к) функция Г (р -f /
-f х -f 1)/Г (р-/) принимает значение -fl при р>0 и (- 1)* при - р - х>0.
Если принять условие
и, л / 1 ПРИ
!/=-и+х)/2± со | е±гл(ц+и/2) ПрИ р о, (2.3.5)
то функция N^'1 будет однозначна в комплексной плоскости I с разрезом
вдоль интервалов вещественной оси, на которых функция Г (р -f I -f х -f
1)/Г (р - /) отрицательна. Приняв условия
вида (2.3.5) для числителя и знаменателя по отдельности,
142
М. ШААФ
получим
[Г (р + I + X + 1)]'/а > 0 при /> - р - к- 1,
[Г (р - t)]'h > 0 при I < р.
Функция ЛУ1 обладает следующими свойствами симметрии:
