Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мишель Л. -> "Симметрия в квантовой физике" -> 51

Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.

Мишель Л., Шааф М. Симметрия в квантовой физике — М.: Мир, 1974. — 251 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavkvantovoyfizike1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 81 >> Следующая

I* а;к> ~1~к~ 1 лтК, / t
(Лу ) = Лу , лу Nц' = 1,
дгХ,I д,И, ¦
Л,-ц-и = Л/(Х е
X, I ____ д/и' ' - insign (Im i) (ц + к/2)
(2.3.6)
Матричные элементы унитарных серий представлений группы SU (1, 1) в
базисе (2.3.3) имеют общий вид:
"й!№•" - <# '¦ -1 у S;/ й " (А) с '¦ У;,' " -= К',(К'')-1 И?.1,, <Л),
\Х, /, Г)
(Л) = I ЛУг |2 (ещ+х | У*' * MJeji+^sud, d = (2.3.7)
= $ 4э~ еи'+* (и)* I соЛ12 + Л22 | X
Х (| сол!, + л"21) еи+хМ)-
Здесь матричные элементы У?%(А) существуют для любого /а С, так как в
силу неравенства
О < I Л 22 I - I Л12К| соЛ12 А~ Л 22 1^1 Л 22 | -Н Л121, (2.3.8)
шраведлива оценка
I V& (А) | < §^-\ со Л12 + Л22 f2Re <
<(M22l + Mi2l)|2Re(/+x+1)l. (2.3.9)
Поэтому мы вычисляем матричные элементы при любом комплексном I. Для
этого следует продолжить аналитически функцию | соЛ12 -f Л22 |-2,-2х-2 в
обе стороны от единичного круга {со е С: | со |= 1) в кольцо (со е С: |
А2\1Ап | < | со | < | Л22/Л121}. Перепишем эту функцию в виде
(соЛ12 Ат А2А 1 (со 1Л21 Ат Аи) 1 * 1 =
е= ехр [ - (/+И- 1) In (соЛ 12+ Л22)] ехр [-(/+>< + 1) In (co~M21 + Ли)],
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 143
где In -главное значение логарифма. Тогда матричный эле-: мент V^'l(A)
принимает вид
(л> = т # дг М12+(со-м21+лпг/-,+,'.
(2.3.10)
Подынтегральная функция однозначна в комплексной плоскости со с
разрезами от 0 до -A2JAn и от -А22/А12 до оо,
если на луче (со = гА21/Ап) фиксировать фазы условием
arg (соЛ12 + Л22) = arg Л22, arg (со-М21 + Ли) = arg Ап.
Контур интегрирования охватывает первый разрез. Подставляя
t - - Л121 (соЛц А21) \ (2.3.11)
получаем вместо интеграла (2.3.10) следующее выражение:
VX{A) = A^+^A^X
XW J + (2.3.12)
(i+,o+)
где разрезы в плоскости t проведены от (- Д2Л2])-1 до - оо и от 1 до 0.
Контур интегрирования (l+, 0+) охватывает второй разрез в положительном
направлении. Для фаз принимаем
* arg(-t) = arg(1 - 0 = arg(1 -f A12A2lt) =0
п-ри (- Л12Л21)-1 < t < 0.
Теперь можно показать, что следующий интеграл по двойной петле:
А^'
4я sin я (|i
(1+,о+1-о-) (2.8.13)
где подынтегральная функция однозначна в плоскости t с разрезами от 0 до
(-Л12Л2()-1 и от 1 до оо и при выборе фаз
arg* = arg(l - ^) = arg(l -f Л12Д21*) = 0 при 0<Д<1,
совпадает с интегралом (2.3.12), так как сумма показателей при t и (1 -
t) в подынтегральной функции равна целому числу. Выражение (2.3.13) имеет
вид интегрального представления Похгаммера для гипергеометрической
функции F = 2Ft (см., например, книгу Бейтмена и Эрдейи [23]). Итак,
окончательно
N4
М. ШААФ
получаем
Т/Х> I t Л\ ЛИ'+И + И ( л \И'- И Г (ц + / + X + 1)
К^(Л) = ЛИ (-Л12) т^Г7Т^ТТГх
w F (ц' - /, ц' + / + х + 1; и' - и + 1; - Л12Л21) _ ...
Х Г(ц'-ц+1) •
В силу (2.3.7) для матричных элементов унитарных представлений имеем
Usu\u 1) (Л)ц'ц =
= (Лц/1 Ли Г+,1+х(Л12/| а12\Г~" й*М~\ л12|2) =
= (An/A22)ill'+il+m (Al2/A2lf'-ll)l2 йХ (~ AM, (2.3.16)
ЯЭД М -
Г Г (и' - О Г (ц' + / + Х + 1) 1'/а /_1\Н'-Ц (_v\(H'-H)/2 /,
ч(н'+Н+Х)/2
~|.Г(ц-/)Г(ц + / + х+1) J ( 4 1 Х) { ' Л
V f Qi' - и' + / + и + 1; и' - д + 1; х) _____ ^ v С С\
Х Г(ц'-ц+1) * < X^U-
С целью вывода соотношений симметрии для матричных элементов (2.3.15)
рассмотрим линейный оператор Ги и анти-линейный оператор Kw определенные
в пространстве фор-
мулами
(Ги/)(со) = co*f (-со-1), (К*/)(со) = со*/(-со)*, /о ^ (
т / 1 \х w (2.3,16)
Они удовлетворяют условиям
= = (2.3.17)
Для представлений Vх'1 группы 517(1, 1) в пространстве ST получаем
7*хКм',-(Л)Гх'=Км',(Л-,г), /CxV',',M)/Cx,= KM>,,U",t), (2.3.18)
откуда с помощью формулы (1.3.32) имеем для матричных элементов
VX-K -ц-х (Л"1Г) = (-1 У*'"1* VX (Л) = КИ'^Т^-х (л+). (2.3.19)
Из формул (2.3.7), (2.3.6) и соотношения эквивалентности (1.3.33) между
представлениями К*'1 и "''"'с-1 получаем сначала
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 146
только для основной и дополнительной серий свойства симметрии
и sub, 1°) (л 1ГЦ = Usu\i, 1) (Л)_11,_и> _ц_и = Usu\ 1°. 1)
(- 1 У*'-1* йЪI (х) = й-'ц'-х, -ц-х (х) = (дс). (2.3.20)
Для вывода аналогичных соотношений для дискретной серии следует вначале
сузить операторы Ги и на подпространства 9". Согласно формуле (2.3.16),
подпространства lF+n и " переводятся операторами Ги и /Си друг в друга,
так что вместо формул (2.3.18) мы имеем соотношения
f±,yVV{A)ft*=V$l{A-nl K±.*Vr(A)K-±l,* = V$l'(A-lf), (2,3,21)
где операторы Г±>и и К±,х получаются при сужении операторов Ги и на
пространства представлений VИтак, обобщение формул (2.3.20) дает при г) =
0, ±:
Usu\i 1) и_,г)ц14 = Vsи (i7?) (^)-ц'-х. -ц-х = Vsv\и 1) ^ 3 22^
(-I)*1 11 йц'ц (х) = й-ц'-х, -ц-и (х) = й\х\1' (х).
2.4. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ УНИТАРНЫХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ Е(2)
В БАЗИСЕ,
СВЯЗАННОМ С ПОДГРУППОЙ Hi
В этом случае можно ограничиться бесконечномерными представлениями группы
Е (2) вида (1.4.16), так как в силу формул (1.4.13) остальные
представления совпадают с неприводимыми унитарными представлениями группы
Ht.
Ортонормированный базис в гильбертовом пространстве Фд(2), согласно
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed