Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мишель Л. -> "Симметрия в квантовой физике" -> 45

Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.

Мишель Л., Шааф М. Симметрия в квантовой физике — М.: Мир, 1974. — 251 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavkvantovoyfizike1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 81 >> Следующая

Следующее утверждение относительно существования билинейных функционалов,
инвариантных относительно пары представлений, которое доказано в книге
Гельфанда и др. [14] (гл. VII, § 3) для группы SL (2, R), изоморфной
группы SU (1, 1), можно считать основной теоремой теории представлений
группы St/(1, 1).
Билинейный функционал в пространстве SF вида
(f\Bg)^(2ni)-2§§-^~^f(a')B(a', 0)g(0) (1.3.16)
с обобщенным интегральным ядром В (а', ш), которое инвариантно
относительно пары представлений Vх'1 и Vх''1', т. е.
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 123
удовлетворяет требованию
{V*'v (A)f\BV*'l(A)g) = {f\Bg), A<=SU( 1,1), (1.3.17)
существует лишь при условии, что к' = к и /' = - Г-к - 1 или 1' = Г. В
случае V = -Г - к-1 ядро такого функционала равно (или пропорционально)
В(а>', ш) = 2лб(- Пп-^). (1.3.18)
(Исключение представляет случай к=1, 1 = -1.) Если /' = /*, I - ^ецелое,
то такой функционал (также единственный с точностью до множителя)
определяется ядром
Жо', о) = Г,><(-?-), (1.3.19)
где
Тк,1(гЛ- Тб\1 - <й\21 (1 - (0)Х /1 о оп\
т (")- г(2/ + и+ l)sinn (1 + х+ 1) ' (1-o.iU)
В случае I'= I, I - целое, в пространстве $Г существуют ровно два (с
точностью до множителя) инвариантных функционала:
. В=Т*+1 и В - Т- 1, (1.3.21)
где операторы Т±1 определяются "спектральным представле-
нием":
f (v - 1 - и- 1)! ,
Т+ ev = 1 (v + fl1 *v П ' (1.3.22)
( 0 при v < -I,
T^ev = \ + gv при v</ + k,
О при v > I + я.
Поэтому оператор Т± 1 вырожден в пространстве ; оба функционала вырождены
в пространстве • В этом подпространстве, нетривиальном при / + к+1^0,
существует (единственный с точностью до множителя) инвариантный
функционал, определяемый "спектральным представлением"
Т*п Ч = (-l)v+'+1 (v - I - к - 1)! (v -1 - 1)! ev, j з 23) / + k + 1=^v<
- I - 1, / + к + 1 ^ 0, целое.
В случае /'= / > О, I - целое, существует (единственный с точностью до
множителя) инвариантный функционал
В = П1, (1.3.24)
124
М. ШААФ
его определение:
тх, i ( (-l)v"'"x[(/ + x-v)!(/ + v)!]-1ev> -/<v</ + k,
L Л ev ^ I
I 0 при других v (1^0, целое).
(1.3.25)
Оператор Т*'1 вырожден в подпространствах ^+Л и &~-1. В каждом из них
инвариантный функционал задается следующим образом:
?х, J (v - / - х - 1)! ,
Г+ 6V = / , j ev, v ^ I "f- х 11
(v + /) _ (1.3.26)
Г1лву = (- В* + { + v<-/-l(/>0, целое).
Прежде чем использовать эту теорему для теории представлений группы SU
(1, 1), обсудим некоторые свойства функционала Т*'1. Для нецелых I
функционал Тк'1, определяемый формулой (1.3.20), также диагоналей в
базисе (ev):
тх,ге -г (v -J - к) -, Г (- у - I) (1 3 27)
1 Г (v + / + 1) v v ' r(-v + / + x+l) v-
Отсюда сразу же следует, что оператор х'л'~1~'л~х является обратным для
Тп'1:
J-Х, lj.lt. -/-х-1 = = Т*' -/-X-lyX, ^ 3 28^
Используем символ Л, чтобы обозначить сужение оператора на
подпространство:
f?/ = 7*./|0-x,-z-x-i (/<Qj целое);
Гп'* = 71 пЛ |^n' ~*_х_1 (/>о, целое). С1-3-29)
Легко видеть, что операторы Т±1 и ГхЛ можно интерпретировать как
"предельные значения11 оператора Тн' гс комплексным г:
lim Тк-г | '_х_' (I < 0),
грX, I ____
Т± =
фХ, /
I П :
г-*1
lim Тк'г | &~± 1 (1> 0),
^ л , ^-3'3°)
Ит d гх,г|^-хп,: (/<0)j
z-W
- Res Гх'z I ^n' _'_x_1 (/ > 0).
Z^l
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 125
Сужения операторов, отвечающие I и -/ - х- 1, также взаимно обратны:
/^.х, -1-11-1 (I < 0, целое),
V*. I (I > 0, целое),
(1.3.31)
/"-х, I (I < о, целое),

/"-х,-;-x-i (/>0, целое).
е* г
I от ,
(tm)Y., ItpX, -/-X - 1 71Х, - / - X- 1 /TlX, / I =
1 ± I ± - I ± I ± -
mK, / mX> "/ "X --1 mX, -- / --X - 1 mX, / I ^
^ n -* n - 7 n n=|/
^ n
В качестве первого следствия сформулированной выше теоремы покажем, что
представления, отвечающие I и -I - х- 1, эквивалентны. В силу соотношения
(V*J(A)f\Bg) = (f\ Ух>-,*-х-,С4-1)Дг>, (1.3.32)
справедливого для любого В в формуле (1.3.16), инвариантные функционалы,
существующие в случае /' = /*, определяют операторы, дающие связь между
соответствующими представлениями. При /' = - /* - х - 1 оператор В
пропорционален единице. Поэтому для нецелых I имеем
т*,1у*,1 = ук, -z-x-i?,xw (1.3.33)
а для подпредставлений с целыми I получаем
(tm)ХЛт/Х, I т/Х, - I- X - 1 S.X, I
1 ± у ± = V 1 ± ,
,т,Х, I т/X, I т/Х, - 1-К - 1 Т.Х. /
1П •'П = vп 1п •
(1.3.34)
Вторым следствием основной теоремы является неприводимость в смысле Шура
всех представлений Vп'1. Так как в случае Г = - Г-х-1 6-функционал
(1.3.18) является единственным инвариантным функционалом, то в силу
соотношения (1.3.32) единственным оператором, коммутирующим с
представлением Vя'1, является единица. Исключение составляет случай х=1,
1= - 1, когда операторы ± осуществляют проекцию на
подпространства &~±~' и коммутируют с представлением У1-1 в силу
соотношений (1.3.34), Это отвечает отмеченному выше разложению
представления У1'-1 в прямую сумму У+-1(r)
Наконец, основную теорему можно использовать для определения условий, при
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed