Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
1 Cm. также Швебер (1963), Вентцель (1947).
{Ф, = -і[ф, чч+.
(6.1.14)
Ф'ІБ7]= С/(2)Ф[2].
(6.1.15)
186
словами, берется уже знакомое преобразование rj*:
Ав^Ав + ц'Ав. (6.1.16)
Считая используемое преобразование инфинитезимальным, можно записать:
[/(2) = / + 6*7(2); (6.1.17)
тогда
Ф^~АвФ —^ Ф^"-4бФ [8U^~Ab "f“ Ab8U -|-т]*-4в]Ф. (6.1.18)
Если считать матричный элемент Ф+АВФ не зависящим от выбора гиперповерхности, фиксирующей одновременность событий, то следует положить iI
—т)*Ав = SU+Ab AbSU. (6.1.19)
Взяв вместо Ав просто единичную матрицу I, мы не нарушим соотношения (6.1.19), но обнаружим, что матрица 6U антиэрмитова,
6 ?7+ = -6*7, (6.1.20)
что соответствует унитарности матрицы преобразования U:
ти = і. (6.1.21)
Вводя для удобства эрмитову матрицу
6*7 = iSV, (6:1.22)
8V+ = 8F, (6.1.23)
мы получаем из (6.1.19)
_г,мв = i[AB, 6F]-. (6.1.24)
Так как оператор 6 V определен на гиперповерхности, то естественно взять
б F = 5 б VadSa. (6.1.25)
2
Некоторые его свойства можно выяснить, исходя из состояния физического вакуума, описываемого амплитудой состояния Фвак, которая не должна изменяться от гиперповерхности к гиперповерхности ввиду законов сохранения:
Фвак(2і)— Фвак (S2). (6.1.26)
В другой системе
Фвак(2*)= Фвак(2г). (6.1.27)
Поэтому
6 F (Si) Фвак [Si] = 6 F(?) ’ФвакРг], (6.1.28)
и можно заключить, что
J 6V*dSa = J 6V*dSa. (6.1.29)
Меняя направление одной из нормалей, переходя к гиперцилиндру с бесконечно удаленными в пространственном направлении боковыми стенками и применяя теорему Гаусса, получаем:
§ b\adSa = J (6У“), a(dx) = 0. (6.1.30)
В предположении, что это имеет место при произвольных Ф[2].
187
Естественным обобщением этого равенства служит дифференциальный закон сохранения
(6У«),а = о. (6.1.31)
Наши рассуждения здесь не претендуют на строгость, а являются наводящими. Поэтому удобно воспользоваться квазиклассическим приближением, в котором можно положить
(D1 = е^Ф0, (6.1.32)
где интеграл действия берется в «слое» между двумя пространственноподобными гиперповерхностями:
Si
J= " L (dx). (6.1.33)
2о
Тогда
ф/ = е^'Ф0'. (6.1.34)
Имея в виду закон преобразования
Ф/ = U (2і)Фі, Фо' = U (S0) Фо, (6.1.35)
можно проследить цепочку равенств
ф, = е"ф0 = e”U (S0)-Wo = е»и(20)-іе-”'Фі' =
= e”U (2о)-1е-^'г7(2і)Фі, (6.1.36)
откуда в силу произвольности выбора состояния Фі найдем
e"U (20)-*е-*ги (Zi) =L (6.1.37)
Это выражение удобно привести к виду
e-iJ'U\eiJi = —e~iJ°'UoeiJ° = const, (6.1.38)
если представить интеграл действия (6.1.33) в виде разности
/ = Z1-Z0, (6.1.39)
где
2г
7,= $L(&e). (6.1.40)
—OO
Переходя к бесконечно малым преобразованиям, запишем
/' = / + 8/ (6.1.41)
и воспользуемся равенством (6.1.17). Выражение (6.1.41) удобно представить в виде
e~iг ^ . ^ гб/). (6.1.42)
Тогда постоянная величина, представленная в формуле (6.1.38), примет вид
I + e~iJ(8U — i§J) eiJ = const. (6.1.43)
Ее следует приравнять единичной матрице; поэтому
6U = Ш. (6.1.44)
Итак, с одной стороны, должен выполняться закон сохранения для инфинитезимального вектора (6.1.31), а с другой — должно иметь место соотношение типа
5 6V^dSa = L(dx). (6.1.45)
Ограничиваясь чисто эвристическим уровнем анализа, отметим, что конструкция, подчиняющаяся слабому (и потому физически полноценному!)
188
и
закону сохранения и построенная из L путем соответствующих дифференцирований, хорошо известна (см. § 2.4); это —
SVa = - tp«gP + Мэт^,т. (6.1.46)
Тогда
ц*Ав = і [ав, J - мГ I, т) ] . (6.1.47)
В свою очередь, левую часть этого выражения можно представить в форме
r\*AB = aB\?-l*,x-ABtfl*, (6.1.48)
так что (6.1.47) примет вид
5 {(<*в[ рт-IpT- Лв.р-^б®^,^) —
-»[^в(«),(1р«(®/)|Р(*,)-МГ(*/)Е|‘(®/),т)]-}<»«'> =0. (6.1.49)
Так как изменения координат являются произвольными дифференцируемыми функциями, то соотношение (6.1.49) распадается на два:
— іАщь-&*(х,хГ) = i[AB(x),tfi«(x')]^ (6.1.50)
aB\fix-8a(x,x')na = — i[AB(x),^zaMpt (х')]__, (6.1.51)
причем в обоих случаях все величины берутся на одной гиперповерхности. Интегрируя по гиперповерхности, получаем отсюда в соответствии с (2.6.27) и (2.6.37):
iAB,t= [Ав, Рр]_ (6.1.52)
и
I Pt = Mbj ^pt]-. (6.1.53)
Таким образом, мы вновь пришли к квантовым скобкам Пуассона, но с совершенно другой стороны: эти скобки записываются теперь ни в коем случае не для произвольных величин, в них обязательно должны входить 1) динамические переменные и 2) функции канонических переменных.
Итак, операторами, действующими на амплитуду состояния, являются потенциалы полей (и их производные); все поля, в том числе и метрическое, здесь взяты на равной основе. Однако метрическое поле служит одновременно для геометрических построений; в частности, оно определяет пространственно- или временно-подобный характер того или иного вектора. Поэтому квантование гравитации приводит непосредственно к модификации понятия пространственно-подобной гиперповерхности, столь важной для описания интегральных физических величин и для самого обоснования процедуры вторичного квантования с помощью скобок Пуассона. Можно указать разные пути преодоления этой трудности, например, введение второй (не подвергаемой квантованию) метрики в двуметрическом формализме-
