Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
(5.5.33).
(5.5.34)
(5.5.35)
at
+ (Ra/ ’ + R'1! р„) • (g“W + g";tgf) - 2 (R„3? ! + R ‘ ? (to) ;e*r -
— 2 (Ra/*. + R?. рш) g«;e + 2RaV8 a;e (6va6<0* + SvxSw0) -
CC*V-?l» * Ct R
- 2R а;ш- (SvaS^ + SvtSxa)-R.. pa;8- (?eagoS + W - 2gcxga>e) —
— R? ? Pa • (g™;e6шТ + ger;ega,a - 2g”.lU) }.
(5.5.36)
172
лученные нами сейчас выражения содержат лишь производные не выше третьего порядка по (если подставить сюда «настоящий» тензор Римана — Кристоффеля).
Покажем теперь* что уравнение вида
' (^л + Lk) = 0 (5.5.37)
at
выполняется, как и: (5.5.20), при условии обычной связи гравитационного потенциала с метрическим тензором. К сожалению, вычисления здесь намного сложнее, чем в случае уравнения (5.5.29), и мы ограничимся проверкой сделанного утверждения путем учета в (5.5.37) обычных свойств симметрии тензора Римана — Кристоффеля.
Тогда
6L* =_ї_1(д^+я«*_2Д« (5.5.38)
6Г“ I
at
а с другой стороны, на основании тождеств Бианки, следующих из тех-же свойств симметрии и структуры (5.5.21):
6L* = _ 1_Л (деати.е + Rexaa.,,)-* - 1—1 (2Д<% - RT - RT ),
6ГИ
at
(5.5.39)
так что уравнение (5.5.37) автоматически удовлетворяется.
Чтобы окончательно вывести вариационным путем уравнения (5.4.22) и (5.4.24), достаточно взять полный лагранжиан системы полей в виде
L* = Lg + Lk -f- Lh Lf (5.5.40)
и считать Lf не зависящим от Гот . Тогда уравнение
SLt
^T=0 <5.5.41)
ат
дает связь между гравитацией и геометрией, исходя из чисто физического подхода к гравитационному полю, как это было сейчас проиллюстрировано, а уравнения
SL*
^=0 (5-5.42)
дают, на основании полученных здесь соотношений (5.5.4), (5.5.7) и
(5.5.9),
і
Rax 2~ SaxR = —X [^fat + ^Rax + T к ах]] (5.5.43)
в силу же ТОГО* ЧТО
Trox + T Ках == 0, (5.5.44)
мы снова получаем обычные уравнения Эйнштейна 1
^at = —(5.5.45)
подстановка которых в уравнения (5.5.41), принимающие теперь вид
тождеств
Леах * . rkex<s * Л -Г-* ^T :а ^a ;х
(о,е-}-R (о;е = 2Rax;(o — Ra —Rа , (5.5.46)
173
дает искомые квазимаксвелловские уравнения гравитационного поля в форме (5.4.22) с источником (5.4.25). Дело в том, что симметризация, которой подвергнуты члены из уравнений (5.4.22), которые могут быть усмотрены в (5.5.35), не обедняет полученных в этом случае уравнений, ибо, антисимметризуя по другой паре индексов, мы вновь получаем уравнения (5.4.22). Действительно, на основании тождеств Риччи:
откуда непосредственно следуют, ввиду (5.5.41), соотношения (5.4.23):
(доказательство эквивалентности двух записей уравнений).
Если бы тождество (5.5.44) не выполнялось, мы столкнулись бы здесь с необходимостью введения в теорию некоторой новой фундаментальной постоянной; в самом деле* если перейти к системе CGS, величины Lh и Lк имеют размерность сл*~4; если бы мы при этих величинах поставили тот же коэффициент, что и при обычном гравитационном лагранжиане
(5.5.13), то для достижения одной и той же размерности понадобилось бы использовать сверх этого множитель размерности квадрата длины (фундаментальная длина?!).
Мы рассмотрели пока лишь один аспект теории гравитации, приводящий к традиционной теории Эйнштейна. Другой аспект был уже затронут в предыдущем параграфе, где предлагалось выражение (5.4.31) для плотности «гравитационного тока», Qnvx- Ясно, что этот вопрос непосредственно связан с представлением о девиации геодезических, так что полезно вспомнить о вариационном выводе уравнения девиации в § 3.5. Включим в лагранжиан (3.5.20) массу частиц:
Переходя к сплошному распределению масс и вводя плотность массы рт, можно в первом приближении записать
(5.5.47)
и, кроме того,
(5.5.48)
(5.5.49)
L = TnvaVa1
причем рассматривается вариационный принцип 67 = 0,
(5.5.51)
(5.5.50)
где
(5.5.52)
(5.5.53)
причем
(5.5.54)
Для этого мы введем инвариантную плотность массы
PixKll • — — Pm
ап
(5.5.55)
(скалярную плотность), где
zip dx$ = dn.
(5.5.56)
174
Итак,
Lp = PmvaVa. (5.5.57)
Однако вектор относительной скорости не является сам по себе не-зависимой переменной, но включает зависимость от гравитационных потенциалов, будучи абсолютной производной от №. Поэтому мы должны ВЫЧИСЛИТЬ величину бЬр/бГот/. G другой стороны, естественно принять лагранжиан (5.5.1), отказавшись, однако* в этом варианте теории от
(5.5.12). Тогда должно быть
SLb , SLp = I [Q..-+Q»;, (5 5 58)
5Г® 6Р0 2
ах ах
Определение конкретной зависимости Vll от Tati оказывается не совсем тривиальной задачей, так как наиболее простая и естественная запись
= BJL = + TlxIav, (5,5.59)
dv dv
дает внутренне противоречивый результат, как легко видеть при непосредственном вычислении. Приходится условиться, например, что в качестве не зависящих от величин берутся контравариантный вектор Vа и ковариантный вектор Za, причем лагранжиан (5.5.57) делится на две части* что приводит к равноправному участию обоих векторов в построении этого лагранжиана. Тогда
