Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
d*pd3q а
2У/?о«о
X [ Ф<+) (P) qH (q) Pn?v + q*“* (q) Ф(+) (p) Pv9n +
+ 4-<C (Ф<+і(P)(Q) + (q)Ф(+>(P)) • №~P^) ], (6.3.44)
Интегрирование поЗ-мерному объему дает
5 = 5(ф(+)(ч)ф(_)^)+ ф(")(ч)ф(+)(ч)) х
X [W + -у 6,V - q%.q%) ]. (6.3.15)
196
Здесь использовано то обстоятельство, что при
P = q (6.3.16)
вследствие
PaF= (6.3.17)
должно быть
Po = до; (6.3.18)
ввиду этого в интеграле исчезает экспонента, содержащая время, а также обращается в нуль второй член в квадратных скобках в (6.3.14). Поэтому окончательно интегральней вектор энергии-импульса может быть записан в виде
Pn= JJ VdI? == -L 5 d*9[f<+>(q), <P(-)(q)]+(?n, (6.3.19)
где использовано обозначение для антикоммутатора
Def
[А, В}+ = AB+ BA. (6.3.20)
Вернемся к скобкам (6.3.4). Пользуясь разбиением потенциалов на положительно- и отрицательно-частотные части типа (6.3.10), эти скобки можно записать как
± \ S: kpe±ikax<x,Ai±} (k) = 5 -^r e^o^[Af (k), Рр]_. (6.3.21)
J І2к0 \/2ко
фтсдода) по свойству фурье-разложений (ортогональность гармонических функций) получим
[Л^(к),Рр]_= TM»1 (к). (6.3.22)
Это соотношение справедливо для любого поля и поэтому весьма существенно.
В приложении к случаю скалярного поля последний результат дает HF Ацф<±> (k) = J* d3q ¦ q» • [cp<±> (к), [<p<+> (q), ф(-> (q) ]+]_. (6.3.23)
Фигурирующая здесь комбинация коммутатора с антикоммутатором мо-« йсет быть преобразована по следующей простой схеме:
IAAB, CM- = [А, В]-.С + [А, С] JB + В [А, С]_ +
+ С [А, В]_ = [А, В]+С + [A1 С]+В - В[А, С]+ - С[А, В]+ (6.3.24)
(может быть, конечно, получена и смесь коммутаторов и антикоммутаторов). Вспоминая обычную квантовую механику, мы предположим, что в случае скалярного поля коммутаторы являются с-числами [доказательство этого факта см. в монографии: (Боголюбов и Ширков, 1957)]. Тогда
[ф(±) (к), Рц]- ¦= 5 d3Q-Qv {<рН (q) • ІФ(+) (к) > (q) ]- +
+ <Р<+) (q) [ф(±)(к), <F<->(q)]-}. (6.3.25)
Можно показать, что канонические координаты одинаковой частотности коммутируют друг с другом; поэтому выражение (6.3.25) в комбинации с (6.3.23) дает
± WiHk) = 5 &q-яп-^Чч) -[ф(±)(к),Фт^Л-> (6.3.26)
197
а так как это равенство должно быть справедливо при любых к, то мы должны положить
1ф(+)(к), фН(ч)]-= — 6(к—q). (6.3.27)
Вспомним, что б-функция является аналогом символа Кронекера (ср. соответствующие заключения в квантовомеханическом случае, когда рассматриваются свойства момента импульса) и выполняется равенство
P^= $ ^3??иФ(+)(ч)Ф(-)(ч). (6.3.28)
которым следует теперь заменить (6.3.19), постулируя специальную расстановку операторов в динамических величинах [так называемое нормальное произведение: операторы отрицательной частотности (уничтожения) справа, операторы положительной частотности (рождения) слева], чтобы избавиться от расходимости энергии. Поэтому мы должны интерпретировать ср<+) (q) как оператор рождения кванта скалярного поля с 4-импульсом (7а, а Ф<-)(ч) — как оператор уничтожения кванта скалярного поля с таким же 4-импульсом.
Переходя теперь от фурье-разложения к функциям координат, записываем:
[ф<+)(ж), ф<-)(г/)]_ = --— \ dpd\q_ ei(paxrx~qaya) X
(2л)3 2}!р0до
X [ф(+>(р), Ф(-ЧЧ)]- = — 7^75 \ ~.еШ*а-уа) = — iDW(x — у),
(2л)dJ Zqo
где введена перестановочная функция
(6.3.29)
?К+)(х) = * 3 $ (dq)ei^xa6(n2—q2)Q{+q0), (6.3.30)
причем ступенчатая функция 0 определяется соотношением 0, . < 0, q0 < 0,
вы = +1, „>о. <6М1)
Аналогично
[ф(-)(х), Ф(+)(г/)]- = -HX--Kx-у). (6.3.32)
При этом новая перестановочная функция определяется как
Di-)(х - у) = -D^(у - х) (6.3.33)
или
где
^~)(Х) = І2^ (dq)ei*«*ab№-qZ)-Q(-qo). (6.3.34)
Поэтому коммутатор для полных скалярных потенциалов равен 1ф(«)> Ф(У)]-= — iD(x — у), (6.3.35)
?(x) = .DW(ж)+ ?>(-)(я)=------^ - ^ (dq)ei<i^a6(ii2 — q2)e(q0)
(6.3.36)
198
и
,еЫ= 0(30)-0(-00) = 1"^ (6.3.37)
Подобным же образом для заряженного (комплексного) скалярного доля можно найти коммутаторы
[ф<+)*(к), ф(-)(4)]_ = —б (к q) (6.3.38)
[ф^) (к), фН* (q) ]__ = — б (к — q) (6.3.39)
(остальные коммутаторы для него обращаются в нуль). При этом
[ф(я),фЧУ)]-==1ф*И, ф(у)]-= — Я>(х — у). (6.3.40)
В случае заряженного скалярного поля вектор энергии-импульса равен
P11= J<Pg.?|l[cpW* (4)9^ (д) + ф(+^ч)ф(-)*(д)]1 (6.3.41)
в то время как заряд, определяемый выражением для тока -SLsc
TT=-J* (6-3-4^
^сли взять лагранжиан (4.4.3), учитывающий взаимодействие скалярного и электромагнитного полей, имеет вид
Q= 5 PdSvi= 5 с№+>*(ч)Ф<->(д)-Ф(+>(д)Ф(->’(ч)]- (6.3.43)
Все эти соотношения позволяют просто интерпретировать физический смысл операторов ф<+), <р(+)*, ф<_) и ф<~>* заряженного скалярного поля: *р(+)* есть оператор рождения положительно заряженной скалярной частицы, <р<“) — оператор уничтожения этой частицы, ф<+> — оператор порождения отрицательно заряженной частицы и ф<~>* — оператор уничтожения такой частицы.
Заметим, что в выражениях (6.3.41) и (6.3.43) уже использовано нормальное произведение операторов. В дальнейшем мы всегда будем непосредственно пользоваться таким произведением, в частности, предполагая, что, оно уже использовано в выражении для Pp в соотношении (6.3.22). Тогда в выражениях типа (6.3.23) не будет фигурировать антикоммутатор, и поэтому комбинации величин (6.3.24) несколько упростятся. Это обстоятельство весьма существенно в случае фермионных полей, когда комбинации с антикоммутаторами в (6.3.24) обратились бы тождественно в нуль (если, как обычно, предполагать, что антикоммутаторы для фермионных нолей суть с-числа).