Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
В целях усреднения уравнений электродинамики Лоренц ввел понятие физически бесконечно малой области пространства — такой области,, которая ^намного больше размеров микроскопических (атомных и молекулярных) неоднородностей вещества, но намного меньше размеров макроскопических неоднородностей, соответствующих границам тел или включений. Тогда, проводя усреднение по таким физически бесконечно малым областям, мы получаем вместо микроскопических характеристик поля (и среды) некоторые сглаженные характеристики, тем не менее остающиеся функциями координат и времени. Для этих новых характеристик и записываются уравнения макроскопической теории, причем часто попутно строятся модели данной среды ж делаются предположения
о связи близких по природе характеристик между собой (например, связи электрических напряженности и индукции через диэлектрическую постоянную).
При последовательном релятивистском подходе усреднение следует проводить по физически бесконечно малым 4-мерным объемам, также соответствующим определению Лоренца. Для того чтобы отдельные элементы среды (внутри физически бесконечно малых областей) могли двигаться с релятивистскими скоростями, целесообразно разбить процедуру усреднения на две ступени (де Гроот и Флигер, 1964; ср. со старым подходом: Делленбах, 1919).
В первую очередь усреднение проводится по отдельным самостоятельно движущимся элементам среды — молекулам или группам совместно движущихся молекул, которые рассматриваются в сопутствующей им системе отсчета, так что процедура усреднения дает их собственные электрический и магнитный моменты (если они в целом нейтральны). Переходя затем к лабораторной системе отсчета, мы задаем скорости движения этих элементарных образований и применяем преобразования координат. Тем самым «релятивизация» теории достигается практически более легким путем. Затем проводится вторая стадия усреднения, о которой мы фактически уже говорили.
178
Если в системе учитывается и гравитационное поле, то все предварительные расчеты целесообразно проводить в свободно падающей системе отсчета (когда физическая система настолько велика* что ощущается неоднородность поля, следует ввести ступень, соответствующую усреднению отдельных частей в вех системах свободного падения); при этом все соотношения, не включающие тензора кривизны, принимают вид, характерный для частной теории относительности (кроме случая фермионных полей!), и вычисления упрощаются.
В общем случае при усреднении главную роль играют две теоремы: теорема о переставимости операции усреднения и операции частного дифференцирования и теорема об учете поляризационных эффектов при усреднении. Первая из этих теорем широко известна* и мы укажем здесь лишь формулу, выражающую ее содержание:
где А — усредняемая физическая величина, причем операция усреднения определяется как
Область интегрирования Q и есть та бесконечно малая область, по которой проводится усреднение на второй стадии процесса (о первой стадии мы больше заботиться не будем).
Вторая теорема также хорошо известна, однако мы повторим здесь ее доказательство в тензорной форме (в случае общей теории относительности лучше сказать: в четырехмерной форме).
Теорема. Если в отсутствие поля некоторая характеристика среды Тб обладает свойством
(обобщенное определение «нейтральности» среды), то в присутствии поля имеет место соотношение
причем является вектором деформации среды под воздействием наложенного поля. Здесь важно помнить, что до и после наложения поля не меняется геометрическая область интегрирования, так что какие-то части среды, вследствие деформации, выйдут за границу области интегрирования, а другие части среды могут проникнуть снаружи этой области внутрь нее.
Доказательство теоремы несложно. В самом деле, деформация среды около границы области интегрирования приводит к сдвигу частиц этой среды Iv, так что объем этой среды, уходящий из области интегрирования Q, оказывается равен ^dSv, где dSv — элемент гиперповерхности, окружающей эту область, ориентированный, как обычно, в направлении внешней нормали. Соответственно из рассматриваемой геометрической области выносится количество характеристики тв, равное тBlvdSv, которое следует вычесть из полного значения (т)о, проинтегрировав его предварительно по 3-мерной области (гиперповерхности 2) и разделив на
(5.7.1)
J (dx) а
(5.7.2)
Q
(5.7.3)
Tb — Мву,
(5.7.4)1
где
Mb' = ТвГ,
(5.7.5)
12* 179
^ (dx). Однако, вследствие (5.7.3), среднее значение (тв)о в отсутствие поля равно нулю, так что мы окончательно получим
Tb=-------------§ TB^dSv (5.7.6)
S (*0 2
Q
или, применив теорему Гаусса, придем к (5.7.4) и (5.7.5). Теорема доказана.
В случае электродинамики, усредняя ток поляризации, получаем
M^=Ppvv-Iv = — OpKiv-I^) + j Pp-ОТ). (5-7-7)
Если считать плотность связанных зарядов медленно меняющейся во времени, можно в последнем выражении отбросить последний член, который тогда исчезает при усреднении по достаточно большому промежутку времени. Тогда = —Mw,
