Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Вообще же плотность тока распадается на ток проводимости (в который мы для простоты включим и конвекционные токи) и ток поляризации:
/•* = /сй + /р^. (5.7.8)
Среднее значение тока проводимости дает макроскопическую величину плотности тока:
J С» = Jv-. (5.7.9)
Уравнения Максвелла — Лоренца микроскопической теории имеют
вид
+ Fv^fi + JFxiajv = О (5.7.10)
и
Fw^ = P. (5.7.11)
Усредняя тензор микроскопической напряженности электромагнитного поля Ffiv, получаем тензор макроскопической напряженности Eliv:
Ffiv = Eiiv. (5.7.12)
G точки зрения 3-мерной записи электродинамики компонентами этого последнего тензора являются 3-вектор электрической напряженности E и 3-вектор магнитной индукции В, исторически лишь случайно получившие разные названия.
Учет всех полученных соотношений при усреднении уравнений (5.7.11) дает теперь
= р — (5.7.13)
и при введении тензора электромагнитной индукции
Dw = Ew + Mwi (5.7.14)
также антисимметричного, дает уравнения с дивергенцией индукции. G 3-мерной точки зрения компонентами тензора электромагнитной индукции Dw являются 3-вектор электрической индукции D и 3-вектор магнитной напряженности Н. Итак, уравнения Максвелла в материальных средах приобретают вид
* Е^.% + Ev^fi + E^ = 0 (5.7.15)
Ш
и
D*v;ll = /v.
(5.7.16)
Приведем здесь без вывода важные соотношения, феноменологически связывающие тензоры напряженности и индукции для случая изотропных сред iI
Разрешая эти уравнения относительно соответствующих тензоров, нетрудно получить
Как отметил Мёллер, в этой теории возникают некоторые затруднения в отношении закона преобразования вектора плотности тока /v.
Подход к усреднению электродинамики, исходя из уравнений поля, безусловно является наиболее простым, так как эти уравнения линейны, и потому не вызывают затруднений, которые существовали бы при усреднении квадратичной функции полевых переменных — лагранжиана. Однако идея усреднения лагранжиана, а не уравнений, привлекательна по двум причинам. Во-первых, интеграл действия
очевидно, может быть сразу же записан (без каких-либо приближений!) для усредненного лагранжиана,
путем простого разбиения операции интегрирования на два этапа — по малым областям и по всему 4-пространству.
Предположим, что флуктуации в рассматриваемых областях малы, т. е. можно пренебречь корреляциями электромагнитного поля и характеристик среды. Тогда средние значения произведений величин можно считать приближенно равными произведениям соответствующих средних. Взяв лагранжиан электродинамики в физически малой области в виде
DafiVa = E-EafiVa,
1
* DafiVa = — * EafiVa.
(5.7.17)
(5.7.18)
Dafi = —Eafi~\-----------— (EyaVfi + EfiyVa) V^,
[1 \Х
(5.7.19)
(5.7.20)
7 = 5 L(dx),
(5.7.21)
(5.7.22)
(5.7.23)
получим при усреднении
(5.7.24)
где макроскопический потенциал обозначен через Ov: А\ = Фу,
(5.7.25)
причем, конечно,
EiIV = Фу,|Х Фц^.
(5.7.26)
1 Cm. Ландау и Лифшиц (1959), а также Шёпф (1959, 1962).
181
Выделяя в (5.7.24) дивергенциальный член, отбрасывая его и пользуясь на основании антисимметрии M»v соотношением (5.7.26)* получаем «рабочее» выражение для макроскопического лагранжиана:
L(
'em —
4 14 2
(5.7.27)
Варьируя действие, построенное из усредненного лагранжиана, по Фа, получаем уравнения
образующие вместе с (5.7.26) систему, совершенно эквивалентную полученной ранее системе уравнений (5.7.15)* (5.7.16). Тем самым подтвердилась целесообразность сделанных здесь предположений, на основании которых мы провели усреднение лагранжиана.
Второй привлекательной стороной усреднения лагранжиана поля, а не уравнений является автоматическое получение из него выражений и для пондеромоторных сил, и для тензора энергии-импульса электромагнитного поля в материальных средах, вопрос о котором все еще остается в современной электродинамике не вполне ясным (вспомним тензоры Лоренца и Абрагама).
Перейдем к вопросу о гравитационном поле4. Для проведения его усреднения особенно удобны именно квазимаксвелловские уравнения, полученные в предыдущих параграфах и адекватно выражающие теорию гравитации Эйнштейна. Эти уравнения линейны относительно тензора гравитационной напряженности , который мы рассматриваем те-
перь по аналогии с электродинамикой как микроскопическую характеристику поля. Ее среднее значение — макроскопический тензор гравитационной напряженности — мы будем обозначать тем же символом, тем более, что результаты, к которым мы сейчас придем, справедливы и в точной, неусредненной теории. Заметим, что тензор обобщенного гравитационного тока Qnvx может быть представлен в виде дивергенции:
Используя консервативность тензора энергии-импульса Tiav* можно дополнить выражение в скобках таким образом, что
обладает теми же алгебраическими свойствами, что и тензор кривизны Римана — Кристоффеля. В квазимаксвелловских уравнениях гравитационного поля естественно перенести этот член налево и объединить с тензором напряженности гравитационного поля — тензором * Рщлана — Кристоффеля, обозначив сумму как
