Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Что касается самого скалярного поля, то его существование в природе представляется сомнительным (речь идет, конечно, об однокомпонентном скалярном поле, а не о четверке скалярных полей, составляющих фер-мионную волновую функцию); в частности, представление о мезонах как
о квантах псевдоскалярного поля (теория которого в рассмотренных аспектах ничем не отличается от теории скалярного) оспаривается, и я-мезоны предлагается интерпретировать как проявление других полей, например, янг-миллсовского векторного поля (см. сборник «Компенсирующие поля...», 1964). Поэтому интересно обратить особое внимание на возможности проверки реальности такого поля путем анализа соответствующих ему характерных эффектов.
199
6.4. Квантование электромагнитного поля
Электромагнитное поле, в отличие от скалярного, обладает несколькими (вообще говоря, четырьмя) компонентами потенциала, ввиду чего при его квантовании появляются некоторые новые аспекты. Напомним, что в наши намерения не входит детальный разбор квантовой теории как таковой. Здесь мы, во-первых, говорим об аппарате квантования, чтобы в дальнейшем применить его к гравитационному полю; во-вторых, квантовые соотношения для электромагнитного поля потребуются нам при. вычислении квантовых эффектов, включающих взаимодействие гравитационного и электромагнитного полей. Поэтому мы настойчиво рекомендуем читателю, интересующемуся деталями квантовых расчетов для электромагнетизма и прочих полей (кроме гравитационного), обратиться к монографии Боголюбова й Ширкова (1957), обозначениям и плану которой мы здесь следуем, подчеркивая, однако, некоторые новые аспекты.
В духе метода представления взаимодействий мы рассматриваем здесь все поля как свободные при установлении квантовых перестановочных соотношений. Поэтому
Fa^ = 0, (6.4.1)
так что из выражения (4.2.4) следует
1в® = р<«*-4й,в + -|-Р^ввв% (6.4.2)
Кроме того, полезно воспользоваться обобщенным спином
м*т =4aF“*. (6.4.3)
В случае электромагнитндго поля, потенциал которого преобразуется при переходах между системами координат, мы можем пользоваться не только соотношениями (6.1.52), но и (6.1.53) для установления формы коммутаторов. Ho прежде следует взять разложение потенциала на положительно-и отрицательно-частотные составляющие (ср. случай скалярного поля):
A11(X) = (х) + (х). (6.4.4)
Переходя к фурье-представлению и имея в виду, что из уравнений Максвелла для потенциалов (член с кривизной следует отбросить!) следует релятивистская формула связи мейсДу энергией и импульсом при нулевой массе покоя фотона,
^aga= 0, (6.4.5)
мы, как обычно, получаем
(6-4-6)
причем для вещественности потенциалов A11(X) необходимо и достаточно* чтобы
(^(q))*=.Af(q). (6.4.7)
Условие Лорейца в имИуЛьсном представлении имеет вид
p<xA{±)a(v) = 0. (6.4.8)
Хотя в квантовой теории оно Дерется в более слабой форме (при действия на соответствующую амплитуду состояния, причем используется лишь одна для каждого случая частотность потенциала) , можно без опасения применять сейчас это условие в классической форме (6.4.8), так как это не
200
приведет к ошйбкам. Из условия Лоренца следует поперечность электромагнитного поля, которая на квантовом языке выражается как невозможность порождения ИЛИ уничтожения продольных И временных фоTOfiOB,— вывод, который дает метод индефинитной метрики Гупты — Блейлера. Изложение этого метода для электромагнитного поля можно найти в стандартных учебниках rto квантовой электродинамике; мы же рассмотрим этот метод в приложении к гравитации (впервые это сделал сам Гупта, 1952), когда будем квантовать это поле (§ 6.7).
Ввиду сохранения 4-«вектора» энергии-импульса в его выражении встречаются лишь произведения компонент противоположных частотностей, так что, имея в виду дальнейшее интегрирование соответствующей плотности, и только в этом смысле, можно записать:
= S * {Р'ГЧ) ЖР { (PaVa + Pala) Y (P) 4-> (q) -
~ PyqaA{+) “(р) iiн Y (q) - Paq^ ' (P) А* «(q) +
+ [2pvg^We(p) Аі~\ч)-ргду (Л(+)е(р) (q) + н- ^<+,v(p) ^(->'(q))]} . (6.4.9)
Тогда интегрирование по 3-мерному объему дает
5 tcadv = 5 d?q^-qaA<.+yv(q)J? (q) (6.4.10)
и окончательно для 4-вектора энергии-импульса —
Pa = 5 ta4v = J JPqqaAWn (q) Ai^ (q). (6.4.11)
Конструкция из потенциалов, стоящая под знаком интеграла, интерпретируется как число частиц (фотонов), обладающих импульсом qa•
В противоположность энергии-импульсу, интегральный спин (здесь мьг имеем в виду обобщенный спин общей теории относительности) отдельно не сохраняется; однако, как легко показать, в данном приближении сохраняется его антисимметризованное значение, плотность которого равна
(4.7.10)
S«HV _ _ S«VH = Ma11 g04 — М™ ga». (6.4.12)
Это и есть тот спин, который фигурирует в частной теории относительности; таким образом, именно для него следует брать перестановочное* соотношение (6.1.53), которое поэтому нуждается в антисимметризации по соответствующим индексам. Имея в виду эти процедуры, которые нам предстоит проделать позднее, мы ограничимся при вычислении обобщенного спина лишь произведениями компонент противоположной частотности:
