Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
1 ^ Duvn
^p--PmV [ ^ + go* du J-
= ~ PmVa + gad —^-----TafilvVfi + , (5.5.60)
откуда следует выражение для вариационной производной:
6LP 1
—-----= ~г Pm(Vd)VaIx + VaVxIa — 2VaVxIe,). (5.5.61)
6ГИ 4
ах
Ввиду наличия равенства
QtnL - QV+ Qax: - QLox= 3Qax: (5.5.62)
и уравнений (5.5.58), получим
2 Г 6L 6L і і
Qatd, = — g™ J = — рm(v°v4x — VaVxIa). (5.5.63)
at aco
Этот результат в точности согласуется с (5.4.31), как и следовало ожидать.
С другой стороны, варьируя по метрическому тензору, получаем выражение для тензора энергии-импульса такой «девиационной среды»:
Трах = 2 ^gOX = ”2“Pw(ya^T + VxVa) — Pm ^ (VaVx) . (5.5.64)
Этот тензор, обладая должной симметрией* однако, заметно отличается от обычного тензора энергии некогерентной материи (пыли), являясь* как и следовало ожидать, исходя из идей вариационного вывода уравнения девиации геодезической, некоторым подобием производной от последнего тензора по параметру и.
175
5.6. Гравитационные сохраняющиеся величины
Мы рассмотрим здесь те возможные изменения, которые вносит новый подход к гравитации в выражения для сохраняющихся величин и в соответствующие выводы теории. Конечно, главное с точки зрения вариационного принципа, а также и теоремы Нётер, состоит в изменении нашего подхода к элементарным характеристикам гравитационного поля: если прежде все сводилось к метрическому тензору, то теперь мы имеем две системы величин — компоненты метрического тензора (геометрия) и символов Кристоффеля (коэффициенты связности, интерпретируемые как потенциалы физического^поля). Поэтому в теорему Нётер нужно внести коррективы, и прежде всего ввиду специфических трансформационных свойств символов Кристоффеля:
Iir1Iiv = I ат^а,т H-pi,V, (5.6.1)
где множитель а имеет структуру, обычную для тензоров:
I суХ = Гцд?6а^ Гр,(гбут. (5.6.2)
Наличие в законе (5.6.1) вторых производных от инфинитезимального вектора Q1 не изменяет соотношений Нётер (2.4.25) — (2.4.28) и (2.4.31), но предполагает использование новых определений динамических переменных. Мы приведем здесь эти определения в применении к гравитационным лагранжианам предыдущего параграфа:
dL я /
Ue“ = Ы'“ - Г«—(-jp—) +
Jiv.а на
p/v,a Iia
SL д, j сх dL (х
вг*“ Р a^v ’ (5*6.3)
OL SL
мр ацг|р +бг^’ { ]
Iiv, а та
(5-6-5)
ах,а
Отметим прежде всего, что в структуру канонического квазитензора
tp“ = — I*, — Ldpa, (5.6.6)
M-V,a
гораздо более удовлетворительную, чем при явном учете в лагранжиане вторых производных, входят лишь канонический импульс й каноническая скорость, кроме лагранжиана, т. е. мы имеем дело с типичным преобразованием типа Лежандра; поэтому интегральный 4-вектор энергии-импульса является теперь функционалом лишь от канонических координат и канонических импульсов (см. § 2.6).
Так как Mgx играет роль ключевой величины при определении энергии (массы) частиц на основании теоремы Гаусса, специально выпишем эту величину еще раз:
¦m/r ах dL т dL V SL
е дГ* 6ГР-‘ (5.6.7)
fiv,а |іт,а ха
176
Перейдем к анализу конкретных лагранжианов, начав с
(5.6.8)
Нам известно, во-первых, что
(5.6.9)
Затем
Njxfiv = —(g>*“6xv + — 2g*v6xa),
(5.6.10)
UoP = Тор — tap,
(5.6.11)
причем величина
(5.6.12)
хорошо известна из уравнений Эйнштейна;
ta“ = ^-(Гхг.рГ* - - Д^р«) .
(5.6.13)
Для сравнения этой теории с уже известными удобнее всего воспользоваться выражением для плотности обобщенного спина, следующим в данной модификации теоремы Нётер из лагранжиана La:
Эта величина в точности совпадает с той, которая следует из этого же лагранжиана, если в качестве элементарных переменных принять компоненты метрического тензора. Следовательно, все выводы теории относительно динамических переменных также совпадут. Этот знаменательный факт, наряду с известными «хорошими» свойствами квазитензора энергии-импульса (5.6.13) и соответствием его в общей форме требованиям канонического формализма позволяет надеяться на удобство применения такого формализма при квантовании гравитационного поля.
При вычислении динамических переменных для Lr и Lk (см. § 5.5) мы ограничимся лишь плотностью обобщенного спина. Она соответственно равна
(5.6.14)
(5.6.15)
та
И
мк Pt = + у- g г Дергїр^“ - Дэаг Vх -^vrvVa -
— ДцрГ Ptgax + ^RllaTvtgvx — RvlTvibta — RxaTpt + + 2Д™Г“р - RTvtgvx + у Д (rvVx6p« + TpV1O ].
(5.6.16)
12 Н. В. Мицкевич
177
Легко показать, что вклад в массу шварцшильдовского центра способны дать лишь величины, происходящие от La, так как асимптотика символов Кристоффеля и тензора Римана — Кристоффеля при больших г соответственно имеет вид
r*v ~ г~2 (5.6.17)
^ г"3, (5.6.18)
так что величины Mr и М* слишком быстро убывают на бесконечности. Вклад же от величины Ma уже обсуждался в § 3.8, так что мы больше' не будем к нему возвращаться.
5.7. Усреднение уравнений полей.
Полуфеноменологическая теория физических полей
в материальных средах
Усреднение микроскопических уравнений электродинамики (уравнений Лоренца) — хорошо известная процедура, приводящая к установлению вида уравнений Максвелла в материальных средах, к введению понятии напряженности и индукции поля как самостоятельных физических величин, к определению векторов поляризации среды. Мы рассмотрим здесь сначала общую постановку задачи об усреднении уравнений физических полей, а затем, проиллюстрировав применение этой процедуры на примере электродинамики, обсудим ее в приложении к гравитационному полю.
