Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Lg = (5.5.13)
Подойдем к нему с тех же самых позиций, с каких подходили только что* к лагранжианам Lr и Lr- Тогда мы должны принять
R = RtlVX p-Vr*, (5.5.14)
так что
Ifgvt = ^axil ^ * (5.5.15)
[Если бы мы учитывали сейчас все свойства R^xp , то должны были бы записать
169*
dR = Rax (5.5.16)
dgox
и
SLg = y=7
Sgat 2x
а так как
(Rat-I Rg0J (5.5.17)
^- = іт,„ (5.5.18)
представляет собой обычное определение симметричного тензора энергии-импульса и SLt / 8gax = 0, то мы получим отсюда прямо
Rqx “ SoxtRzzzl (5.5.19)
— уравнения Эйнштейна в обычной форме.]
Эти рассуждения показывают, что для получения уравнений Эйнштейна при таком подходе прежде всего необходимо, чтобы из новых «уравнений»
6Lff
MV= = 0 <5-5-20>
вытекала связь между гравитацией и геометрией* т. е. выражение для Г ?v через метрический тензор и его производные, тогда как форма
Av*p = Tvpf A, TvA,, р Гяа^Гур06 Tpa^rWx (5.5.21)
считается здесь, конечно, заданной, каїк выражение напряженности гра-
витационного поля через соответствуїсщие потенциалы. Замечая, что
- w J- = — (VSiV + Г+ I\o/Sv°V + Гя.о)tiSvxSpa -
С/1 ах Л
- IWVSutl — IVrSptSc/ — IWSvaSxt — Грт^т6ха), (5.5.22)
мы получаем
dR ORlivXo
дт~^ = Vr* = + t^x - r^ax -
- у (Тч}?6а° + TvxaScot) gv\ (5.5.23)
•а из выражения
QR* Л
'vU> [Sx8 (SvaSpt + SvtSpa) — Spe (6vaSx,T + SvtSxa)] (5.5.24)
дГ“ 2
at, є
находим
dR BR. vAd 1
= -ZlitJ ¦ = -7r{g™g<ox + g^go* - 2g«g.«). (5.5.25)
дГа дГ® 2
ат, е ат, в
170
Тогда уравнение (5.5.20) может быть записано в виде
6Lg / Olig ^
8Гах® “ ^Taxtd ~ \ / е
ах, е
(5.5.26)
Гравитационный потенциал должен подчиняться закону преобразова-
(5.5.21) — истинный тензор. Поэтому мы можем определить операцию ковариантного дифференцирования с помощью гравитационных потенциалов, не предполагая, что введенные таким образом коэффициенты связности конструируются из производных метрического тензора, иными словами, не предполагая априори, что ковариантная производная метрического тензора равна нулю. Чтобы связать гравитационное поле с геометрическими характеристиками мира, достаточно (и необходимо, вероятно) приравнять нулю ковариантную производную метрического тензора. Тогда представляющая сейчас особый интерес ковариантная производная плотности контравариантного метрического тензора равна
и представляет тензорную плотность 3-го ранга. Отсюда найдем, что
Сравнивая полученное выражение с правой частью равенства (5.5.26), заключаем:
Требуя, чтобы выполнялось уравнение (5.5.20), и считая, что Lf не зависит от Го* , находим, свернув правую часть (5.5.29):
Подставляя этот результат в (5.5.29) и приравнивая все нулю^ находим окончательно:
ния коэффициентов связности, если мы взяли егокак Гот д. а построенная из него и его производных величина гравитационной напряженности
(У ? gOX) ; 8 = (V-ggat),e +
+ У - ? IgopTepx + ?ртГера - StnTepO]
(5.5.27)
gat; • - у (gae; ебаЛ + g8X; е6ш°) =[g°x~ ^-(ga86</ + geT6a,°) ] ^ +
+ І—g [ — Sax IV + gapIV + — j ( feW + Герт6ш°) Гр .
(5.5.28)
(5.5.29)
(5.5.30)
T. e.
g°“; . = 0.
(5.5.31)
gaT; a> = 0,
(5.5.32)
171
что и представляет собой искомую связь гравитации с геометрией и гарантирует выполнение вспомогательного соотношения (5.5.31).
Таким образом, исходя из обычного гравитационного лагранжиана
(5.5.13) и рассматривая гравитацию как одно из обычных физических полей, мы с помощью вариационного принципа автоматически пришли к геометрическим аспектам теории; этот подход хорошо известен, и иногда его называют методом Палатини, хотя в действительности метод Па-латини отличается от него (см. § 3.2).
Итак, мы уже получили выражения для 6LR / 6gat и 6Lk / бgax; остается рассмотреть бЬд/бГат и SLkISTах. Для упрощения вычислений полезно вспомнить, что использование гравитационного потенциала в форме Гот приводит к негеометрическому в своей основе определению ковариантного дифференцирования, а значит, и к возможности применения соответствующих локально геодезических систем координат. Имея в виду, что (см. § 3.2) вариация бГот является истинным тензором, мы приходим к заключению, что произведение бГот • 6L / бГот является, как и L, скалярной плотностью, а значит* вариационная производная 6L / бГот представляет собой тензорную плотность 3-го ранга. В начале локально геодезической системы
(под знаком ковариантной производной стоит заведомо тензорная плотность 4-го ранга). Непосредственный подсчет с помощью выражения
(5.5.24) дает
где следует отметить наличие точно той же симметризации по индексам
о и т, которая фактически входит и в уравнение девиации геодезических: (5.4.17). Гораздо более громоздкие, чем при выводе (5.5.35), вычисления дают
Нужно отметить, что варьированные нами величины квадратичны по вторым производным метрического тензора, если подходить к ним, постулируя заранее связь Г“т и g^v; тогда при варьировании по g^v мы получили бы уравнения четвертого порядка; в действительности же по-
