Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Легко определить размерность этой константы; она равна
W = [L]-4Z]\ (6.1.6)
где L — лагранжиан, a I — длина. Так как мы пользовались здесь естественной системой единиц, в которой C = 1, то при переходе к обычной CGS-системе следует пересмотреть размерность универсальной постоянной а (введя, например, время).
Мы получим при этом
[а] = (эрг -сек)-1 (6.1.7)
— размерность обратного действия, что естественно для квантовой теории.
Обращаясь к вопросу о комплексности константы а, мы сначала предположим, что для классических скобок Пуассона выполняется соотношение
{Ф, 4FJ+= {Ф+, Y+}, (6.1.8)
где крест обозначает эрмитово сопряжение (для классических величин совпадающее с обычным комплексным сопряжением, если речь идет не
о матрицах). Тогда
{ф, ^}+ = а* [ФЧЧ-+ = - а* [Ф+, 1F+]- = — — {Ф+, 4F+), (6.1.9)
а
откуда при сравнении с (6.1.8) следует
а* = -а, (6.1.10)
т. е.
А
(6.1.11)
где знак выбран из соображений удобства в дальнейших приложениях, а новая универсальная константа ft имеет размерность действия (эрг-сек) и интерпретируется как постоянная Планка.
Ввиду размерного характера новой универсальной постоянной, вошедшей теперь в теорию, целесообразно так «прокалибровать» систему единиц,, чтобы в ней была равна единице не только скорость света с, но и постоянная Планка ti. Мы будем продолжать называть эту систему естественной. Тогда квантовые скобки Пуассона примут простой вид
{Ф, W) = -*[Ф,ЧЧ- (6.1.12)
Как видно, этот путь перехода приводит только к коммутационным, но* не к антикоммутационным соотношениям, что могло бы показаться желательным в приложении к фермионным полям*.
Ввиду этого Пайерлс (1952) предложил при необходимости пользоваться оператором поворота на полный угол 2я, предполагая, что такой поворот меняет знак соответствующих переменных. Пейерлс предложил считать, что скобки Пуассона определены тогда только для соответствующий величин, умноженных на этот оператор 0 (вообще говоря, такого рода
1 Нужно сказать, что такое пожелание относится далеко не ко всем конструкциям:
этих полей; например, если в соотношениях участвуют динамические переменные —
знеріия-импульс, спин и пр., то необходимо использовать именно коммутаторы!
185
ограничение применимости скобок Пуассона соответствует духу теории). Итак, рассмотрим скобки Пуассона для 6Ф и 1Jr:
{@ф, ?} = —г[@Ф, ?]_ = —і(Є— ТЄФ) =
= — і (©Ф^ — ?вФ + Ф0ЧС — ФОТ + ФТ0 —
- ФТ@ + ТФ0 - ТФЄ) = —і{[0, Ф]+ЧГ +
+ [Ф, я+в-ччв, Ф]+—Ф[6, Т]+}.
(6.1-13)
Если теперь оператор © антикоммутирует как с Ф, так и с xF, а антикоммутатор [Ф, W]+ является с-числом, причем в левой части соотношения
(6.1.13) 0 фигурирует просто как множитель слева, то, «сокращая» на 0, получаем
Нужно, однако, заметить, что стоящие в левой части (6.1.14) скобки Пуассона уже не могут иметь классического смысла хотя бы потому, что они не обладают обычными алгебраическими свойствами. Последнее обстоятельство заставляет нас предположить, что возможна такая модификация классической механики (которая уже не сможет носить названия классической), в которую включены и фермиевские частицы в соответствии с их статистикой; если такая механика может быть создана, то ее следовало бы назвать корпускулярной в отличие от волновой механики.
Проделанного анализа вполне достаточно для того, чтобы перейти к получению конкретных выводов из квантовой теории поля, однако сначала полезно подойти ко вторичному квантованию и, с другой стороны, привлекая конкретные представления о физических системах и преобразованиях координат. Таким образом можно перекинуть мост к теореме Нетер и одновременно к классическому каноническому формализму в теории поля, минуя соображения типа использованных при выводе соотношения (6.1.5). Этот альтернативный путь обрисован в монографии Боголюбова и Ширкова (1957), обозначений которых мы будем в основном придерживаться в нашем изложении4. Вместе с тем мы попытаемся разработать этот путь с несколько иных позиций [ср. также наши исследования (Мицкевич, 1958в, 1959г, 1960) ].
С самого начала необходимо постулировать, что физические системы описываются с помощью амплитуды состояния Ф[2], определенной, как и следовало ожидать, на гиперповерхности, фиксирующей (относительную) одновременность лежащих на ней мировых точек. Предположим, что канонические координаты и импульсы являются операторами, действующими на амплитуду состояния.
Простой переход к новой системе координат без изменения простран-ственно-подобной гиперповерхности одновременности не может вызвать изменения амплитуды состояния, так как физическая ситуация не зависит от способа ее описания, в частности, от способа нумерации пространственно-временных точек. Однако переход к новой системы отсчета соответствует, кроме преобразования координат, еще и соответствующей калибровке нашей гиперповерхности. Вообще говоря, амплитуда состояния при таком преобразовании изменится, и можно записать соотношение
Такое преобразование соответствует переходу к новой системе координат и одновременно к другим точкам, от которых зависят рассматриваемые функции, причем координаты этих новых точек в новой системе координат численно совпадают с координатами старых точек в старой системе. Иными
