Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
R^XpRaxatE ^E^EZeE^l = 16 ^Rv-R-Rrt + -іД2?пі).
(5.4.50)
Комбинирование первого символа со вторым и третьего с четвертым дает гораздо более громоздкие выражения, которых мы здесь не будем приводить, но которые, тем не менее, нетрудно получить, исходя из равенства
(1.40). Окончательно этот второй путь приводит к выражению
R^lpRaxatE ax^mErt* = 16 [Rjtfl^ - Y -
— 2 RwMRilIi + RnvRwgbt — RiiIRM). (5.4.51)
Сравнивая (5.4.50) и (5.4.51), которые должны совпадать друг с другом, находим алгебраическое тождество второй степени по кривизне:
t 1 R^xi R^ — -^WAtwxpSri6 — +
4
+ RvJi^gK - 2R^Rw + R-m - І-дг^пб = 0, (5.4.52)
как раз и выражающее наше утверждение (5.4.47).
5.5. Вариационный принцип для квазимаксвелловских уравнений
По аналогии с электромагнитным выражением (5.4.1) запишем предполагаемый новый гравитационный лагранжиан:
LЯ = — —- g R* XpR^neg (5,5.1)
Мы специально, как и прежде, оставляем вверху лишь один первый индекс тензора Римана — Кристоффеля, имея в вцду определение напряженности гравитационного поля с помощью уравнения девиации геодезических. Именно эта величина считается теперь не зависящей от метрического тензора.
Что касается зависимости варьируемых величин от метрического тензора и от гравитационного потенциала T^v (в используемой здесь трактовке), то необходимо сказать следующее. Мы не будем теперь заранее предполагать, что методический тензор gи гравитационный потенциал
167
f*v связаны друг с другом согласно обычному определению символов
Кристоффеля или вообще каким бы то ни было образом. Мы предполагаем, что вариации этих величин никак не связаны друг с другом, и любая возможная связь должна явиться следствием уравнений поля.
Тогда лагранжиан Lr зависит от только алгебраически, и соответствующую вариационную производную удобнее всего записать в виде
Ввиду отказа от каких бы то ни было предположений о связи гравитации с геометрией и принятия чисто физического подхода к гравитационному полю мы должны отказаться от использования свойства антисимметрии тензора по первым двум индексам, когда для поднятия и
опускания индексов используется метрический тензор guv (в ряде случаев симметрия может быть достигнута подбором такого рода нового метрического тензора, что видно на примере двуметрического формализма). Поэтому мы не можем произвести приведения подобных членов, заключенных в скобки справа в выражении
и симметричный тензор энергии-импульса, следующий из лагранжиана
(5.5.1), принимает вид
Однако если же мы используем свойства симметрии тензора Римана — Кристоффеля полностью, то обнаружим, что члены, стоящие в квадратных скобках, взаимно уничтожаются, и все выражение совпадает с уже известным тензором (5.4.34), аналогичным соответствующему электромагнитному тензору энергии-импульса (4.2.2).
Возникает вопрос: какой лагранжиан Lr следует взять для того, чтобы получить тензор (5.4.44.)? Попытаемся построить лагранжиан, удовлетворяющий условию
концов мы придем на основании уравнений поля именно к этому), то получили бы для Lк выражение
(5.5.2)
(R^XpR^megaiLg^g^-gW) = 2RilvXaRa^gnagvtigXs + -f (RI1 capR 0tTOegW — R .1W? a^megnagaxgvfi) gXagps,
(5.5.3)
Tдат = 2 = ?0т - R11 VXpRa^g+
6 gox V 4
H-— gk^gpe [і? . vXpR . R . OpkR . шeg.
(5.5.4)
(5.5.5)
по методу неопределенных коэффициентов, т. е. возьмем
Lк — ----- ^RliVXpR • &®e[agHagvkg$&gpe +
+ bg^ga^^g^ + CgilPgae^gkai + dg^ga^g^l
(5.5.6)
Если бы мы имели сейчас право учесть все свойства Rt Р (а в конце
Lк = ^ “Ь rfR^Riiv +
(5.5.7)
168
однако варьировать все выражения мы должны без каких-либо скидок на симметрию, которая должна послужить для нас критерием при сравнении полученного результата и выражения (5.4.44), которое, как известно, было построено, исходя из традиционной формы теории Эйнштейна, а значит* требует учета всех свойств тензора Римана— Кристоффеля. Дифференцируя, получаем:
L
(-JL) = ftoe -[^agrpmSrpe X (govgxk + gxvgcX) +
W— а/
QgOX \у.
+ agmgvXg^gapgxe — а?ца?ат§Л'*'?Р“?ре + bg^gaPg^ (govgxX + gxvgal) +
+ CgvVgae (gtogfgf + g*gj-gxa) + dgVpgaZgto (gavgrl + gxvgaX) ] (5.5.8)
или, при учете свойств симметрии,
(-Ь?-Л = 2[(a + MRtlaxpRlS + cR^Rux + d-R-Rox]. (5.5.9)
Qgax \ у— gr /
Тогда сравнению с тензором (5.4.44) подлежит тензор [ср. с (5.5.2)] dL ( 1
Trox = = У S ^ Н" ^ “Ь С)R^R\wgax —
— -R2 • gox -f- (fl -f- Ь)Д . сгтр *-Rjxp C-Rcfco-Rcdt "f“ d tRox^ ? (5.5A10)
так что мы получим для искомых значений коэффициентов величины а + Ъ = с = +2, d= — 1. (5.5.11)
Так как, с точностью до выполнения равенства (5.5.11), коэффициенты а и & остаются произвольными, мы примем их для определенности и из соображений равноправия соответствующих членов в Lк равными а =; = Ъ = +1. Итак,
Lk = 1—? R^xpRapas- [§wr^P8 +
4
+ + 2gllf>gaegvfigh(0 — g^ga^g^l (5.5.12)
Прежде чем продолжать процесс варьирования лагранжианов (5.5.1) и (5.5.12), мы проанализируем сущность стоящей перед нами в дальнейшем задачи на примере обычного гравитационного лагранжиана
