Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
(5.4.8) и следующих за ним. В самом деле, умножая уравнения (5,4.19) на R O^v и проводя соответствующее суммирование, получаем
<v;x • R'^ = 2 R-J^ R^x; V (5.4.3))
[ср. с (5.4.8)] и, далее,
—Я™* RaxM-RT Д.тю) = -R0x^flT ;vj (5.4.33)
4 /;V
где в скобках стоит симметричный тензор
Па = ~ R-J0izR-^K - Ra ^R^X, (5.4.34)
не следующий, в отличие от (5.4.10), из общепринятого лагранжиана рассматриваемого поля (теперь уже гравитационного). Подобно (5.4.11), мы можем переїшсать (5.4.33), пользуясь обозначением (5.4.34) и уравнениями (5.4.22), как
Па;* = - дVrtf • Qvna. (5.4.35
С этого момента мы сталкиваемся с возможностью различного развития этой теории. На предыдущей странице мы уже говорили об альтернативе, которая оказывает решающее влияние и на эти последующие рассмотрения. В самом деле, если «забыть» об эйнштейновской теории и воспользоваться, в полной аналогии с электродинамикой, уравнениями движения в форме (5.4.30). то получим, в соответствии с (5.4.12):
TrX-у = — Рт~^7~" (5А36>
Уравнения (5.4.13) и (5.4.14) остаются без изменения, и тогда мы приходим к следующему закону сохранения:
(Tл v -f~ ) ;v = 0. (5.4.37)
Аналог тензора энергии частиц, следующий из уравнений девиации, оказывается при этом несимметричным:
TSt= PmVW. (5.4.38)
Мы вернемся к обсуждению этой ситуации на стр. 174, заметив здесь лишь, что понятия скорости «течения» зарядов (электрических) и скорости «течения» масс (гравитационных зарядов) несколько различны, как показал Синг (1963), так что в теорию следует внести уточнения.
Другой подход состоит в использовании выражений ортодоксальной теории Эйнштейна, прежде всего (5.4.25). При этом можно с тем же правом взять и соотношение (5.4.23) вместо уравнения (5.4.22). Тогда
1 Иначе говоря, с этой точки зрения известная связь между символами Кристоффеля к производными метрического тензора есть дополнительное предположение или результат теории (в духе модифицированного подхода Палатини), а сам метрический тензор тогда можно назвать «субпотенциалом».
165
правая часть (5.4.33) примет вид
(5.4.39)
После дальнейших преобразований правая часть (5.4.33) будет равна
вытекающее из консервативности тензора Эйнштейна (1.86), то мы получим
Итак, мы убедились в том, что не только левая часть уравнений (5.4.33), но и правая их часть, а именно (5.4.43), имеет вид дивергенции. То обстоятельство, что мы воспользовались при выводе этих соотношений лишь геометрическими выражениями, никак не изменяет положения, потому что в правой части (5.4.43) всегда можно заменить тензор кривизны Риччи и скалярную кривизну выражениями для негравитационных полей согласно уравнениям Эйнштейна (5.4.24). Это можно было бы делать и на промежуточных этапах вычислений, и результаты от этого никак не изменились бы. Обозначим теперь симметричный тензор, стоящий под знаком дивергенции в (5.4.43), как
(мы взяли его с обратным знаком, чтобы, перенесенный налево, он просто складывался с TV*). Заметим, что след как TViv, так и Tk^v равен нулю, подобно следу электромагнитного тензора энергии-импульса:
Кроме того, как это видно из соотношений (5.4.33) и (5.4.43), сумма тензоров ковариантно сохраняется:
Однако не следует делать излишне поспешных заключений о том, что сумма этих тензоров может быть истолкована как полный тензор энергии-импульса, подобно сумме, стоящей под знаком дивергенции в электромагнитном варианте (5.4.15). Во-первых, здесь мы сталкиваемся с «отдельным» сохранением величин, имеющих связь с гравитацией, от величин, более тесно связанных с другими полями, так что такого рода энергии не были бы способны переходить одна в другую, а существовали бы совершенно изолированно. Более того, оказывается, мы просто получили разными способами в точности одно и то же даже под знаками дивергенции в левой части (5.4.33) и в правой части (5.4.43); иными словами, суммарный тензор тождественно равен нулю:
2+ 2Д?^Rv-0= (IRveR^i)ix + (№°Д,а);А-2іГ*Я*А;.. (5.4.40)
Если же теперь учесть свойство Ra-м = ~2 R,a,
(5.4.41)
- R%xR'JZ = (ZRvaRatvX + RvoRvJl - 2RrafR^h + RlRy, (5.4.42)
после несложных преобразований окончательно находим
- Д = (2Re^iRva + Rv-aRviJl - 2RetRax + RRl-I- R^ .
(5.4.43)
Xt 1
Tk = 2Rx>lvxRv.v + 2RXvRvx — RRlx — -J-R2Skx (5.4.44)
(5.4.45)
(5.4.46)
(5.4.47)
166
так что «сохранение» (5.4.46) становится тривиальным утверждением. Доказательство этого утверждения проще всего провести, пользуясь свойством (1.40) символов Леви-Чивиты. Рассмотрим произведение [вместо ЄрлЖр используем для удобства (1*35)]
Rv^uMoxabE |WKi?.SeE*p“"i?«i»* (5.4.48)
Имея в виду, что свойство символов Леви-Чивиты (1.40) относится к их парным произведениям, попробуем попарно комбинировать эти символы в выражении (5.4.48). Сначала скомбинируем первый символ с третьим, что дает
(
Elkv*= 2 (^gvpgf**1 + gwgvbgnp gjxpgrvtigvxj (5.4.49)
(здесь уже учтены для краткости записи свойства симметрии множителя Лрд^рДатар); аналогичную же конструкцию получаем, комбинируя второй символ с четвертым. Объединяя все, приходим к выражению
