Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Подчеркнем, что в этой книге мы отводим квантованию сугубо утилитарную роль (расчет простейших эффектов) и оставляем вне поля зрения привлекательный с общетеоретических позиций феймановский подход.
1 Напомним о принципе Маха, одном из наиболее диалектических предположений
о свойствах пространства-времени. Выразим идею этого принципа в крайней форме: пространство-время полностью обусловлены распределением и движением материи; без материи не было бы пространства и времени. Исторически Эйнштейн начинал построение общей теории относительности с анализа этого принципа, который с полной решительностью ставит геометрию в разряд физических дисциплин. Будучи определена распределением и движением материи, геометрия становится характеристикой материи, подобно такой ее характеристике, как напряженность электромагнитного поля. Поэтому естественно, признавая «право» каждого поля на свою специфику, рассматривать связность и кривизну как полевые характеристики материи.
194
6.3. Скалярное поле: демонстрация стандартного метода квантования
Этот параграф посвящен не только простейшему случаю квантования физической системы — квантованию скалярного поля; в нем также устанавливаются основные соотношения, важные для всего дальнейшего изложения и справедливые в применении ко всем физическим полям. Мы предполагаем, что читателю известны основы квантовой теории, однако ощущаем необходимость изложить здесь многие ее аспекты для того, чтобы установить взаимосвязь их и тех специфических черт классической теории, которая была развита в предыдущих главах, а также (и это весьма существенно) для того, чтобы ввести используемые далее обозначения. В основном мы будем пользоваться обозначениями и методами, изложенными в монографии Боголюбова и Ширкова (1957), так что читателю рекомендуется заглядывать также в эту книгу.
Нашей ближайшей целью в дальнейших параграфах является уже не вывод общих квантово-гравитационных соотношений, которые нельзя отделить от проблем общей последовательной квантовой теории взаимодействующих (в частности, нелинейных, т. е. взаимодействующих с самими собой) полей. Мы ограничимся здесь расчетом конкретных эффектов, в которых участвует гравитация, а также эффектов, существенных для понимания гравитационных процессов. Такой расчет по необходимости предполагает использование приближенных методов, в частности представления взаимодействия. В применении к гравитации это означает, что все эффекты, связанные с кривизной, переносятся во взаимодействие и рассматриваются как возмущение; вычисления же ведутся на фоне плоского мира. Такой подход был использован Гуптой (1952, 1961), Кимурой (1956), а также другими авторами (см. Пийр, 1957; Мицкевич, 1958,
Ввиду сказанного удобно пользоваться декартовыми системами координат во вспомогательном плоском мире (ср. двуметрический формализм), а также применять разложения Фурье для потенциалов полей.
Имея в виду обозначения и результаты, приведенные в § 4.4, напишем для нейтрального (вещественного) скалярного поля;
^Звиду последнего равенства (отсутствия спина у скалярного поля) для квантования придется здесь воспользоваться скобками Пуассона (6.1.52)
поэтому его решение можно записать в форме суперпозиции плоских волн
где б-функция приводит к тождественному удовлетворению уравнения
(6.3.5). Интеграл в импульсном пространстве берется в бесконечных пределах; производя соответствующие замены, можно разбить решение
1959).
(6.3.3)
(6.3.1)
(6.3.2)
IAВ, р = [Ав, •
Уравнение свободного скалярного поля имеет вид
? ф — |д,2ф - - О,
(6.3.4)
(6.3.5)
(6.3.6)
13* 195
(6.3.6) на положительно- и отрицательно-частотные части, имеющие важный физический смысл в квантовой теории:
Ф (#) = ф(+) (ж) -{- ,фН (х), (6.3.7)
Здесь
И = -ТТГТшг S (d?)6 («2 - M^<ee"V* (ff). (6.3.8)
(<2я) 12
Как обычно, последнее выражение удобно рассматривать после интегрирования Ho временной компоненте импульса и введения обозначения
,**<,)= Г , (6.3.9,
ЧЧ-ц2
т. е. в форме
ф(±) (х) = —-— \ е±»9а*® ф<±) (q) (6.3.10)
(2»)V. J У2?Г
Следует помнить, что обычные 3-мерные векторы сопоставляются контра-вариантным компонентам 4-мерных векторов; тогда
(q) = (gf) = (—вГі) (6.3.11)
и
qaXа= go#0— (9-х). (6*3.12)
Чтобы воспользоваться скобками Пуассона (6.3-4), мы предварительно вычислим конкретную форму 4-векто^а Pp. Вследствие закона сохранения
C-O (6.3.13)
(э предртавлении в^аимрдействия при этом достаточна учитывать лишь рйссэдатрдо^рдоое в данном случае доле,, отвлекаясь от других физических полей) интеграодвдй* ээктор эдаргии-импульса должен быть независимым рт зрщ§ни (в качестве гидердовзрхдости интегрирования выбрана гиперплоскость* перпендикулярдая оси, времени)., Это * соответствует * наличию в структуре Pp лишь произведений скалярного потенциала взаимно противоположной частотности, в чем также нетрудно уб^еДйтьбя при непосредственном вычислении (соответствующие члены исчезают вследствие релятивистской связи между энергией, импульсом и массой покоя и ввиду появления 6-функций после интегрирования по обычным координатам). Итак, можно с самого начала упростить вычисления, отбросив члены вида ф<+)ф<+) и ф<“)ф<“). При этом условии мы получим
