Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
5 МГ dv = і \ [^(q)4i_)(q)- A^ (q)4(-*(q) +
+ (4j+)(q)4H0(q) _ 4(+)o(q)Д<~> (q)l . (6.4.13)
qa J
Так как вычисляемые здесь выражения — операторы, то они имеют символический смысл, и подразумевается, что они должны действовать на амплитуду состояния какой-либо реальной системы. Так как в этой системе отсутствуют (метод Гупты — Блейлера!) временнйе фотоны, то из
20І
(6.4.13) можно выбросить соответствующие им члены; тогда получим $ мГ dv = -LJ d3q(AMx(q)AV (q)-^+) (q)^(q)). (6.4.14)
Переходя к спину, плотность которого определяется соотношением *(6.4.12), получаем:
J = =I^d3Q (4<+>M<->v — Л(+М(-)(*). (6.4.15)
Заметим, что выражение для энергии-импульса (6.4.11) диагонально — в нем перемножаются компоненты потенциала противоположной частотности, но с одинаковыми индексами, т. е. соответствующие одним и тем же поляризациям фотонов; в то же время этого нельзя сразу заключить из конкретного вида спина (6.4.15). Как известно, одновременно нельзя диагонализировать более одной компоненты момента (в том числе и спина), так как эти компоненты не коммутативны между собой. Поэтому мы приступили к диагонализации лишь третьей компоненты спина (согласно традициям). Для этого следует выбрать в качестве новых компонент потенциала некоторые линейные комбинации старых компонент. Коэффициенты этих комбинаций однозначно определяются требованиями диагонализации спина (причем коэффициенты при произведениях новых компонент потенциала противоположной частотности в этом диагонализирован-ном спине должны быть равны либо +1, либо —1) и сохранения диагонального вида энергии-импульса (6.4.11) в неизменной форме. Легко показать, что связи между новыми и старыми компонентами потенциала имеют тогда вид
1
A^i = ~zi_(a^1 + aW2), A^3 = а^3,
1/2 (6.4.16)
Ai±)г = + -L ZaCtH — aw2),
І2
ИЛИ
а<±)1 = JL (^(±)1 ± iA(±)Z), a<±)3 = A^3,
І2
I
д(±)2 = (4<±)1 rp iA(±)2\ .
У2'
Тогда
Sz = ^ d3q (a(+)‘a(-)i — a<+>2a(-)2)
И
Po=I d3ggaa(+)v(q)4-)(q),
(6.4.17)
(6.4.18) (6.4.18')
так что все требования выполнены. Можно сказать, что мы перешли к круговым поляризациям фотонов относительно оси z и выразили все величины через собственные операторы (функции) состояний такой поляризации. Возможность одновременной диагонализации, реализованной здесь, соответствует сохранению ^-компоненты спина и одновременной определенности (наблюдаемости) этих динамических переменных.
Как мы уже сказали, соотношение (6.1.53),
= [А*, ЗД_, (6.4.19)
.202
где
Sf = \ МГ dSa, (6.4.20)
недействительно в приложении к нашим разложениям на положительно-и отрицательно-частотные составляющие (причину этого можно усмотреть в том, что такое разложение инвариантно лишь относительно ортогональных преобразований четырех координат), так что приходится пользоваться антисимметризованным соотношением со спином (6.4.12)
і (Axgw — AagW) = [A*, , (6.4.21)
где
SW = rfs»wds«. (6.4.22)
Эта антисимметризация, как уже указывалась, автоматически уничтожает зависимость спина от времени, так как члены, содержащие такую зависимость, симметричны по индексам т и а и, например, имеют вид
-І- J d3qe^4^(A(^(q)A^±) (- q) + (q)Л(±>*(— q)). (6.4.23)
Если исходить при выводе перестановочных соотношений для потенциалов из выражения (6.4.21), а не (6.1.52), то вычисления оказываются даже проще, чем они были в случае скалярного поля. Именно, сразу же можно взять в (6.4.21) переменные в их фурье-представлении, например, при положительной частотности:
AWxgv.0 _ AMogV-* = 5 d3q(4<+МНо — 4<+>°4(->т) J . (6.4.24)
Считая, что величины одинаковой частотности коммутируют друг с другом, получаем отсюда
AWx (р) — А(+)° (р) =
= J #g{^(+)T(q)U<+№(p), 4(-)a(q)]_.-Л(+)^(Ч)[Л<+)^(р), 4<-*(q)]_}. (6.4.25)
Решением этого уравнения для коммутаторов является
[Л<+)»*(р), 4H^(q)]_ = (q — р) ? (6.4.26)
что подтверждается и подстановкой в выражение (6.4-21) компонент отрицательной частотности. Сравнительная простота такого вывода обусловлена тем, что, в отличие от (6.1.52), здесь не фигурируют производные потенциала.
Полагая в соответствующих функциях для скалярного поля массу покоя квантов равной нулю,
^(X)=OW(X)Ili=O, (6.4.27)
можно записать перестановочные соотношения для положительно- и отрицательно-частотных частей потенциалов в конфигурационном пространстве и, наконец* получить коммутатор
[A11(X), Av(y)]-= igilvD0(x,y), (6.4.28)
где перестановочная функция равна
D0(X)=] (dq)e^8(q2)e(qo). (6.4.29)
203
Ввиду того, что лишь поперечные составляющие электромагнитного поля имеют физическое содержание, целесообразно с самого начала разлагать компоненты потенциалов в фурье-представлении по формуле 1
At' (Ч) = VMq)^’ (q)• (6.4.30)
Величины вца обычно интерпретируются Jtak четверка векторов поляризации (векторный индекс — нйжний, верхний индекс обозначает нбмер взятого вектора). При этом
(в/) = (1,0,0,0), т. е. е*® = 8А (6.4.31)
(V)= (о, (6.4.32)
— векторы, описывающие временные и продольные фотоны, так что соответствующие им операторы рождения и уничтожения можно отбросить. Поперечные фотоны соответствуют векторам поляризации
