Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
v^(q)y°v^(q) = 6Т*. (6.5.14)
Заметим, что при подстановке базисных «спиноров» в уравнения Дирака мы получим
(уЧч =F т) V&*(q) = 0 (6.5.15)
и
^(±)a(q) (Y^HzF пг)= 0. (6.5.16)
Отсюда следует ряд важных свойств этих I X 4- и 4 X 1-матриц.
Умножая (6.5.15) слева на v[(q) Y0, получаем
^(±)a(q)Y°(Y^n zF m)y(=F)T(q) = 0, (6.5.17)
откуда
m6Ta = ±yWa(q)YVV7iAy^)T(q)- (6.5.18)
Так как, однако,
ynyv = glivі aiiv (6.5.19)
(выделение симметричной и антисимметричной частей произведения двух у-матриц), то
т$ха = ±?J(±)ff(q) [g°I + (?0?]iA^x(q). (6.5.20)
Точно так же, умножая (6.5.16) справа на y°u^x(q), получаем после аналогичной процедуры
тЬх° — =fcz;(±)a(q) [g°I + cr0^] v^x(q). (6.5.21)
Складывая и вычитая равенства (6.5.20) и (6.5.21), находим
^(±)a(q)i;<T)t(q) _ -ь- — бха (6.5.22)
Qo
и
Я^(±)аЫ) G0llVmx (q) = 0. (6.5.23)
207
На основании уравнения (6.5.15) можно также написать г;(+)<7(р) (y^h H= m)iA^x(q) = 0, (6.5.24)
а на основании уравнения (6.5.16) —
^(р) (y^Ph ± иг) (q) = 0. (6.5.25)
Здесь мы положим ро = go, Pi = —Qi- Поэтому, складывая (6.5.24) и
(6.5.25), получаем
у (±)<*(р) Y0ZX=t^ (q) = о, Pu = У*. (6.5.26)
Другой пример. Запишем в очевидной символической форме
27(±)a(q)Yv. (6.5.15)-(6.5.16).(q) = 0, (6.5.27)
откуда непосредственно следует
QnV^ (q) [yvy* — YiiYv] ^)ff (q) = 0. (6.5.28)
Однако имеет место отдельно равенство (6.5.23), так что равенство
(6.5.28) оказывается его продолжением. Нетрудно показать, что
QivWx (q) [yvy2* — YiYv] (q) = ^ (6.5.29)
{суммирование лишь по пространственным значениям индекса ?)• Важное равенство следует и из комбинации
г^±)ог(р)Y0Y2V* (6.5.15) — (6.5.16) • Y0Y1Vz^ijt(q) = (6.5.30)
q-+P
где снова Po = go, Pd = -Qu т. е. Pu = д*\ Простые вычисления дают
^(±)T(P)Y° (Y^gi — Y^gi і ту*у*) (q) = 0. (6.5.31)
Наконец, очень важны свойства базисных «спиноров» при суммировании их произведений по спиновым индексам. Исходя из соотношения
^6.5.22), записываем
/-WX-Wa /«Л-Cflp /~\ -T- т -(^p /а С QON
Va (4)Vb (q)^a (q)— "t Vb • (6.5.32)
Cf—1,2 ^
Преобразуем правую часть, пользуясь уравнением Дирака в форме
(6.5.16);
mvb^ (Ч)=“-г;?)Р (q)[/ra6{,°-HtfnYab]- (6.5.33)
•Отсюда и из (6.5.32) следует равенство
-(+)р/ \ ( ^ (±)а/_\-№)0/_ч . (m + Y^lOab \ А ./Л к QZX
Va (q)-jZl^a (q)vb (q)±---------------------------J= 0. (6.5.34)
or ^
Ввиду этого становится правдоподобным соотношение
S (q) vb™> (q) = Ц,.+ та)аЬ, (6.5.35)
O-==I ,2
которое действительно выполняется и которое мы здесь строго не будем ^выводить.
Приведенные выражения важны при расчете динамических переменных фермионного поля. Te формулы, которые включают противоположно направленные пространственные составляющие импульсов, служат для исключения зависящих от времени членов в динамических переменных.
208
Мы не будем здесь углубляться в детали этих хорошо известных расчетов, ограничившись приведенным выше выводом вспомогательных формул, а также отдельными полезными деталями.
Плотность энергии-импульса мы запишем, пользуясь символикой нормального произведения:
= J- ¦ (tY4“ — №4) '¦
Проводя интегрирование, получаем
Pa = 5 (Pqqa 2 : Ы+Г (q)Oe<->(q)- OoH* (q)aa<+>(q)]: . (6.5.37)
0=1,2
Ввиду соотношения (6.5.12) в классической теории (когда величины а и а,Ю просто коммутируют друг с другом) выражение для энергии фермионного поля, получаемое из (6.5.37) при a = 0, оказывается индефинитным по знаку. По этой причине Дираку пришлось (до введения вторичного квантования) предположить, что все отрицательные энергетические уровни заполнены ненаблюдаемыми электронами, при вырывании которых из этих состояний в «дираковском море» отрицательных состояний образуются дырки, интерпретируемые как позитроны. Однако эта искусственная картина становится излишней при переходе ко вторичному квантованию, когда для фермионных г|з-функций записываются антиком-мутационные соотношения, а в нормальном произведении при правильной расстановке положительно- и отрицательно-частотных сомножителей меняется знак, когда переставляются местами сомножители противоположной частотности. Действительно, тогда выражение для энергии-импульса принимает положительно определенный вид
Pa= \d3q-qa- 2f^+)*(q)aa_) (q)4-«(^ (q)^*^)].
a
Из выражения для плотности тока
І V- —
следует обычный путем заряд фермионного поля Q = е J d3q 2 : [e?0* (q)«a_> (q) + (q)«a+) (q)]: ,
a
имеющий при явном учете нормального произведения вид
q = е$ (q)a®-) (q)—«в* (q)®^* (q)]-
в
Ясно, что первая группа сомножителей, ответственная за отрицательный заряд, должна интерпретироваться как число электронов с данным значением импульса, а вторая — как число таких позитронов, тогда как входящие в эти выражения сомножители представляют собой операторы рождения и уничтожения этих частиц. Таким образом, выражение (6.5.41) важно для интерпретации операторов.
Что касается спина, то его z-компонента, вычисляемая на основании определения
