Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
,S1Itw] ---1. J (Y0Yi1Yv — YvYuY0)"Ф» (6.5.42)
оказывается не зависящей от времени, как и у других полей, но эта независимость доказывается сложнее [требуется использовать выведенные ранее
(6.5.38)
(6.5.39)
(6.5.40)
(6.5.41)
(6.5.36)
14 Н. В. Мицкевич
209
соотношения для р(±)(р) и ^tfcHq)]. В результате получим интегральное выражение
S7 = — — \ d3q: [\f><+)(q)Y0O12^-Hq) + ^-Hq) iY0(T12Il^+Hq)] • =
4 J
= - 2 : ^ (ч)^_) (q)«(+)a(q) Y0O12^ft (q) -
a,x
— Ят+) (q)^* (q) v^a (q) Y0^12^+)^(q)]:. (6.5.43)
Диагонализировать его можно путем такого выбора базисных «спиноров», чтобы
z7(±)^(q) Y0O1Wt (q) = 2і(—1)а~18х°, (6.5.44)
где 6%а — 2-мерный символ Кронекера. Специфический выбор знаков при диагонализации в (6.5.44) обусловлен, с одной стороны, требованием выполнения известных соотношений для базисных «спиноров», а с другой — физическими соображениями возможности разных проекций спина у частиц одного и того же сорта. При обычном выборе матриц Дирака
о
УаЪ
УаЪ
= 6ь“ sgn cos (а — 1) — 4 (6.5.45)
їь — 8а-Ь sgn cos (а — 1) — е J , (6.5.46)
Yab = —їбо 6 sgn cos а — є J, (6.5.47)
Yoъ = бо-2 sgn Cos^ а — , (6.5.48)
у5аЬ = -і8Ь~\ (6.5.49)
можно принять (см. Боголюбов и Ширков, 1957)
(6.5.50)
IH-H= N-1- , = JV“».
где
iV=]/l + (—J-- )2 = ]/—, (6.5.51)
• \ q0 + т J ' д0 -f-т у ’
rfi
а =
Qo + ™
Коммутационные соотношения для фермионных потенциалов (точнее: «антикоммутационные») легко установить, исходя из коммутатора
210
«1>,Р = №. Pp]-. (6.5.52)
что в применении к фурье-образам дает
N>(±) (q), Pp]- = =F ?pt|)(±) (q) (6.5.53)
И
N>(±) (q), Pp]- = zF 0э^(±) (q). (6.5.54)
откуда нетрудно перейти к соотношениям для операторов а. Пользуясь теперь интегралом (6.5.38), записываем
+ а‘+)(р)а^*(р))
= q=gpa?)(q). (6.5.55)
Предполагая, что антикоммутатор отличен от нуля лишь для операторов, отличающихся друг от друга одновременно и частотностью, и сопряжением, и что во всех остальных случаях антикоммутатор (не коммутатор!) равен нулю, получаем
[Яа+) (q), aV (р) ]+ = —б0тб (р — q) (6.5.56)
И
[аР (q), а<+)* (р)]+ = Ш (р - q). (6.5.57)
Первые соотношения касаются электронов, вторые — позитронов.
Запишем, наконец, диагонализированное выражение для интегрального спина фермионного поля (z-компоненты):
Sz = \ (а{+)* (q)oi) (q) — 4?°* (q)<4) (q) —
— aj+) (q) ai (q) + «2<+)(q)4 (q) )• (6.5.58)
Отсюда видно, что операторы aи аописывают рождение и уничтожение электрона со спином, ориентированным в отрицательном направлении оси Z1 операторы а2(+) и а2<_)* — рождение и уничтожение электрона с противоположно направленным спином и т. д.
В заключение приведем одно релятивистское, но относящееся к «классической квантовой механике» (без вторичного квантования) соотношение. Если исходить из уравнения Дирака в форме (4.8.2), то согласно квантовой механике, гамильтониан в случае электрона Дирака должен иметь вид
H = -JY0Yi-J- — ~jY0Y1V + mY0 +
+ g—Y0(Y“YVYV - YvYW) - eY(6.5.59)
так как уравнение (4.8.2) может быть переписано как
I1Jji0 = Щ. (6.5.60)
Отсюда определяется скорость электрона в виде матричного оператора iv* = [Zi, Я]_ = J1Y0Yi. (6.5.61)
собственными значениями которого могут быть ЛИШЬ 4*1 или —I. T- в. скорость должна быть равна скорости света. Такой парадоксальный результат Довольно редко и противоречиво обсуждается, и мы указываем
14* 211
здесь на него лишь коротко, ссылаясь на книгу Дирака (1960), где помещен также, правда, чисто негативный, комментарий В. А. Фока. На наш взгляд, полное устранение противоречий в этом случае требует обобщения некоторых понятий классической механики, которой, как известно, совершенно чужд принцип Паули.
О желательности такого обобщения мы уже говорили в § 6.1. Можно, конечно, вместе с Дираком, предполагать, что реально наблюдаемая скорость электрона является некоторым средним по быстро меняющейся мгновенной скорости, т. е. что имеет место некоторое подобие броуновского движения для электрона (это перекликается с идеями Френкеля а трансмутационной природе самого движения частиц).
6.6. Разложение физических величин по степеням
гравитационной постоянной в представлении взаимодействия
Рассматривая гравитационное поле как типично нелинейное, что соответствует обычно принятым представлениям (обсуждение этого вопроса см. в § 6.2), следует считать его лагранжиан уже не квадратичным по потенциалам или их производным, а функцией более высокой степени, даже бесконечным степенным рядом, построенным из этих переменных. Такой подход в полной мере был впервые развит Гуптой (1952), а затем Лиас (1957), Пийром (1957), Кимурой (1956), Фейнманом (1962) и нами (1958). Члены в лагранжиане гравитационного поля, имеющие степень выше второй по полевым переменным, рассматриваются как взаимодействие поля самого с собой и относятся к лагранжиану взаимодействия. Если при этом перейти к представлению взаимодействия (например, по Боголюбову и Ширкову), то все свойства полевых переменных, в том числе и перестановочные соотношения, определяются из линейной теории, а нелинейные эффекты переносятся в выводы теории возмущений (5-матрица). Такая процедура квантования гравитации практически очень удобна и непосредственно приводит к количественным заключениям о конкретных эффектах.
