Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
7.6. Вакуумная нелинейность гравитационного поля
Работами Эйлера и Гейзенберга (1936) было положено начало рассмотрению квантовых эффектов высоких порядков в нйзших приближениях теории возмущений путем соответствующей модификации лагранжианов рассматриваемых полей —- введению в них по соответствующим рецептам нелинейных членов. Позднее Швингер (1951) предложил более совершенный метод для определения вакуумных поправок к лагранжиану. Таким путем могут быть получены как перенормировочные добавки к старым лагранжианам, так и принципиально новые нелинейные члены.
Мы рассмотрим здесь как вывод вакуумного добаївка к лагранжиану гравитации по методу Швингера, так и получение сечений рассеяния через виртуальные кванты других полей согласно теории матрицы рассеяния. Результаты обоих подходов в общем согласуются друг с другом. Заметим, что подобный вопрос, но дл^ случая слабого гравитационного поля, без предположений о его медленном изменении от точки к точке, был рассмотрен Бродским и Иваненко (1952) ; мы не будем делать предположений при выводе нелинейных добавок к лагранжиану по методу Швингера относительно слабости ноля (в смысле близости метрического тензора к галилеевым значениям)* но предположим, что этот тензор весьма медленно меняется в пространстве и во времени.
Если взять скалярное поле (Мицкевич, 19596) с лагранжианом
L = — V—?mV)> (7.6.1)
it) вариация его действия по гравитационному потенциалу может быть приведена к виду
. <7-6-2)
* '
260
67:
Вводя оператор
(7ДЗ>
где для удобства можно одно из дифференцирований брать по новым 4-координатам (*/**), и тогда следует пользоваться двухточечной метрикой типа введенной ДеВиттом и Бримом (1959), мы можем переписать выражение
(7.6.2) в символическом виде:
= — $ (dx) \ 60 —-------— = Д- б ^ ds S-1 tr е~ш. (7.6.4)
2 L OJ х-+у 2?
Здесь учтено свойство гриниана
OxD* (7.6.5)
Напомним, что, в соответствии с выводами § 8.4, входящая в это определе ние б-функция должна обладать свойствами скалярной плотности. Таким образом, необходимо ввести представление о свойствах скалярной плотности у матричных элементов типа
(#'|ехр(—tsO) |#/7) = (S(S)7Is(O)"), (7.6.6)
входящих на основании выражения для полного дифференциала (7.6.4) в вакуумный лагранжиан гравитационного поля
Lyac(s)=------ds s~1(s|exp(— isO)\х). (7.6.7)
о
Для вычисления этого интеграла, следуя Швинегеру, можно использовать уравнения «механики»:
г^ОФКИО)") *= {х(8)'\Ь\х(0)"), (7.6.8)
- igva (х (S)' I * (0) ¦") =(* (*)'' IР»(S) \ х(0)"), (7.6.9)
^11^(а:('),|Ж(0),,)={а:('),|р,‘(0)|а:(0)/,)’ (7-6Л0)
где
p»=-ig**JL (7.6.11)
— оператор импульса. Здесь введена, таким образом* в рассмотрение фиктивная механическая задача о движении «материальной точки» с функцией Гамильтона О; переменная s играет роль «собственного времени». Такое «время» должно обладать размерностью скалярного объема, в то время как «гамильтониан» О является величиной типа скалярной плотности. Для решения уравнений (7.6.8) — (7.6.10) следует воспользоваться соотношениями
dx^ -----
— = _ 2 pny- g (7.6.12)
as
и
d I д \ / д* д
ds \ Oxa J \ ’ дхадхх ’ дха
-• (™13) Ограничиваясь случаем медленно меняющегося гравитационного ноля (в некотором смысле даже постоянного), мы замечаем сначала, что такое
приближение не сможет привести к вакуумным добавкам, содержащим производные метрического тензора; а так как метод автоматически гарантирует общековариантный результат, то единственный отличный от нуля добавок может иметь смысл лишь космологического члена (с тем или иным знаком). Так как в выбранном приближении первая часть равенства (7.6.13) обращается в нуль, уравнение (7.6.12) легко интегрируется и дает
х» (5) — х» (0) = —2 spv^—g. (7.6.14)
Записывая «гамильтониан» в виде
Ф =-------- ----Гх (s) х (s) — 2х (s) х (0) + х (0) х (0) + Sisff—g] + m2ff—g,
^~g (7.6.15)
где при раскрытии перестановочного соотношения [ха (s), #Р(0)] вновь
учтено равенство (7.6.14), можно привести основное уравнение (7.6.8) к
виду
ids (х («)'|* (0)") =|----т=[ (*' — х")2 + 8fs У— #] +
1 4 У—g
+ т2У— • (x(s)'\x(Q)"). (7.6.16)
Его решение можно записать в виде
(х (s)' I х (0)") = Cs-2 ехрГ — ——-----------------ims g
L 4 s')/—g
(7.6.17)
На основании уравнений (7.6.9) и (7.6.10), переписанных в приближении постоянного поля, заключаем, что величина С постоянна. Значение этой константы просто определить из очевидного предельного значения функции преобразования:
(х(S)fIx(0)") I^o= б(хг - х"). (7.6.18)
Окончательный вид функции преобразования таков:
is-і г цхг — х")2 ----1
(X(S)rI^(O)7O =——=^exp------------------. -imsll—g\\ (7.6.19)
4я2У~ g L Asy-g J
поэтому вакуумный лагранжиан гравитационного поля окончательно оказывается равным
/ 00 /
Lvac = — -L4- \ dxx~3e~mH = — —^[«-т2т» X 32я2 J 64я2
T0
X (1? 2— mho1- In T0) - m2(0,58 + In т2).], (7.6.20)
где вследствие расходимости пришлось оборвать интегрирование на некотором минимальном собственном времени то = 5оУ — g. Так как знак полученной величины совпадает с обычно выбираемым знаком космологической постоянной Эйнштейна, то из результата (7.6.20) следует значение космологической постоянной вакуумного происхождения
