Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Величины Q предполагаются антисимметричными по всем указанным здесь индексам (в принципе они могут обладать еще любыми другими индексами). Свойства непрерывности и дифференцируемости величин Q формулируются, как обычно в теореме Гаусса. При этом мы не предполагаем, что Q обладает тензорными свойствами.
Коэффициенты ІІ2 и 7з в соотношениях (8.2.26) и (8.2.27) несколько затемняют ситуацию; они, однако, отсутствуют в формулах для дуальных величин, определяемых по правилам:
Q = Szmfi QiiVXPj 4! (8.2.28)
Qp = ~ QlivN
<?** = ^eliv* Q“\ (8.2.30)
QvXp = SiiVXp Qu1 (8.2.31)
Q\ivXp = SnvXfi Q. (8.2.32)
Н. В. Мицкевич 273
Обратные соотношения получаются отсюда перестановкой значка „Л” и изменением знака при нечетном числе индексов у Q.
8.3. Вариационные производные на многбобразиях
Мы рассмотрим здесь два случая функционалов: функционалы на
4-мерном многообразии и функционалы на 3-мерной гиперповерхности.
Пусть Ф[А; П] — функционал на 4-многообразии. Тогда вариационные производные 6Ф / 64 и 6Ф / 6П определяются как
то эти производные совпадают с обычными частными производными:
Примером таких производных может служить выражение, возникающее при варьировании интеграла действия J = . Мы считаем здесь,
что вариации 6А и 6П обращаются в нуль на границах области интегрирования.
Если теперь через Ф обозначить функционал на 3-мерной гиперповерхности 2, то
[это произведение соответствует 3-мерному элементу объема, как и
(8.2.9)]. Если теперь взять
(8.3.1)
Если, кроме того,
(8.3.2)
Q
причем
F = F(А; П)
(8.3.3)
6Ф OF 6Ф д? бХ = ~дА 1 6ЇҐ = Ш*
(8.3.4)
Если же, например, F=F(А-А,а),
(8.3.5)
то
(8.3.6)
(8.3.7)
или же
(8.3.8)
причем
dS = nadSa
(8.3.9)
(8.3.10)
то в случае определения (8.3.7) мы имеем две возможности: Д*ф SFa Д«Ф д?а
(8.3.11)
AA дА АП Ш
274
А А дА р АП ап 1 '
Существование такого произвола можно использовать в расчетах, и оно придает даже некоторую гибкость теории. Если же опираться на определение (8.3.8), то мы получим однозначно
Дф д?а ДФ* OFa
Г = —гП а, -------------=----ГСа. (8.3.13)
AA дА АП дП К J
Переход к 3-мерным обозначениям здесь очевиден.
Рассмотрим функционал на гиперповерхности с подынтегральной функцией Fa = Fa(Л; А#). В этом случае
6Ф= J (?-(•?).,) <МЛ4>
Если, кроме того, dF® 5FP
— - =----—, (8.3.15)
дА,е дА,а
то в последнем члене в (8.3.14) можно перейти к интегралу по 2-мерной
поверхности (теорема Стокса), и тогда
д»Ф= _(*!_) (8.3.1в)
M 6Л V М, и /,, ’
[можно также домножить это выражение на папа, аналогично формуле
(8.3.12)] и
А® = [?!!!_ (JEl) ;L. (8.3.17)
LA I дА \ OAttI, „І
Вернемся еще раз к функционалу на 4-многообразии (8.3.2), взяв, однако,
F = F(4;4,a; 4,a,p). (8.3.18)
При этом, как легко видеть,
"”~l I (м. '^7, ) ,] ' 'Jl1
f [?-<»?;)>
+
S
и, таким образом, 6Ф dF
бА~~дА
и
Д«Ф dF / dF
AA дА
или
ДФ Г dF / д?
(JL) +(-21)
V дА, a Aa ' dAf а, Э а» (—)
\ дАt a, P / ,р
(8.3.19)
(8.3.20)
(8.3.21)
Г dF / dF \ 1
Вспомним в связи с этим несколько непоследовательные обозначения, принятые в формулировке принципа экстремума действия и при выводе теоремы Нётер, которые теперь легко отождествить с последовательно введенными обозначениями:
причем определения (8.3.21), (8.3.22) и (8.3.24) несколько отличаются от (8.3.11), (8.3.12) и (8.3.13), соответственно, в том отношении, что в последних рассматривалась лишь пространственно-подобная гиперповерхность, в то время как при выводе первых в формуле (8.3.19) фигурирует замкнутая гиперповерхность.
8.4. Дельта-функция Дирака и связанные с ней понятия
В связи с применением понятия плотности (заряда, массы и т. п.) к точечным частицам в физике (а в последние десятилетия и в математике) часто пользуются обобщением понятия функции — «распределениями» (этот термин физически очень естествен) или обобщенными функциями. Мы коснемся этого вопроса здесь весьма кратко, отсылая читателя к книгам Иваненко и Соколова (1951) и Шварца (1965). Из таких обобщенных функций наиболее широко используется в физике 6-функция Дирака1.
С самого начала следует подчеркнуть, что 6-функция — не функция в обычном смысле и что без операции интегрирования все соотношения, записанные с ее помощью, имеют чисто символический характер.
Одномерная 6-функция Дирака определяется требованиями
где а и P — любые положительные числа. Эти требования, однако, еще никак не фиксируют нечетной части 6-функции. Будем считать эту часть по определению равной нулю, т. е.
Принятое определение непосредственно приводит к следующим свойствам 6-функции:
(как и прежде, а и P — любые положительные числа) — может быть доказано из теоремы о среднем; поэтому можно сказать, что
6L 6/
(8.3.23)
ЬАв 6.4 л
и
6L Да/
(8.3.24)
6 А в, a AAb
X =0
х ф 0
(8.4.1)
и
(8.4.2)
—а
6(я)=6(-х).
(8.4.3)
а+Р
(8.4.4)
а—а
f(x)6(x — a) = f(a)6(x — а)\