Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мицкевич Н.В. -> "Физические поля в общей теории относительности" -> 116

Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.

Мицкевич Н.В. Физические поля в общей теории относительности — М.: Наука, 1969. — 329 c.
Скачать (прямая ссылка): fizicheskiepolyavobsheyteorii1969.djvu
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 141 >> Следующая


Величины Q предполагаются антисимметричными по всем указанным здесь индексам (в принципе они могут обладать еще любыми другими индексами). Свойства непрерывности и дифференцируемости величин Q формулируются, как обычно в теореме Гаусса. При этом мы не предполагаем, что Q обладает тензорными свойствами.

Коэффициенты ІІ2 и 7з в соотношениях (8.2.26) и (8.2.27) несколько затемняют ситуацию; они, однако, отсутствуют в формулах для дуальных величин, определяемых по правилам:

Q = Szmfi QiiVXPj 4! (8.2.28)
Qp = ~ QlivN
<?** = ^eliv* Q“\ (8.2.30)
QvXp = SiiVXp Qu1 (8.2.31)
Q\ivXp = SnvXfi Q. (8.2.32)
Н. В. Мицкевич 273

Обратные соотношения получаются отсюда перестановкой значка „Л” и изменением знака при нечетном числе индексов у Q.

8.3. Вариационные производные на многбобразиях

Мы рассмотрим здесь два случая функционалов: функционалы на

4-мерном многообразии и функционалы на 3-мерной гиперповерхности.

Пусть Ф[А; П] — функционал на 4-многообразии. Тогда вариационные производные 6Ф / 64 и 6Ф / 6П определяются как

то эти производные совпадают с обычными частными производными:

Примером таких производных может служить выражение, возникающее при варьировании интеграла действия J = . Мы считаем здесь,

что вариации 6А и 6П обращаются в нуль на границах области интегрирования.

Если теперь через Ф обозначить функционал на 3-мерной гиперповерхности 2, то

[это произведение соответствует 3-мерному элементу объема, как и

(8.2.9)]. Если теперь взять

(8.3.1)

Если, кроме того,

(8.3.2)

Q

причем

F = F(А; П)

(8.3.3)

6Ф OF 6Ф д? бХ = ~дА 1 6ЇҐ = Ш*

(8.3.4)

Если же, например, F=F(А-А,а),

(8.3.5)

то

(8.3.6)

(8.3.7)

или же

(8.3.8)

причем

dS = nadSa

(8.3.9)

(8.3.10)

то в случае определения (8.3.7) мы имеем две возможности: Д*ф SFa Д«Ф д?а

(8.3.11)

AA дА АП Ш

274

А А дА р АП ап 1 '

Существование такого произвола можно использовать в расчетах, и оно придает даже некоторую гибкость теории. Если же опираться на определение (8.3.8), то мы получим однозначно

Дф д?а ДФ* OFa

Г = —гП а, -------------=----ГСа. (8.3.13)

AA дА АП дП К J

Переход к 3-мерным обозначениям здесь очевиден.

Рассмотрим функционал на гиперповерхности с подынтегральной функцией Fa = Fa(Л; А#). В этом случае

6Ф= J (?-(•?).,) <МЛ4>

Если, кроме того, dF® 5FP

— - =----—, (8.3.15)

дА,е дА,а

то в последнем члене в (8.3.14) можно перейти к интегралу по 2-мерной

поверхности (теорема Стокса), и тогда

д»Ф= _(*!_) (8.3.1в)

M 6Л V М, и /,, ’

[можно также домножить это выражение на папа, аналогично формуле

(8.3.12)] и

А® = [?!!!_ (JEl) ;L. (8.3.17)

LA I дА \ OAttI, „І

Вернемся еще раз к функционалу на 4-многообразии (8.3.2), взяв, однако,

F = F(4;4,a; 4,a,p). (8.3.18)

При этом, как легко видеть,

"”~l I (м. '^7, ) ,] ' 'Jl1

f [?-<»?;)>

+

S

и, таким образом, 6Ф dF

бА~~дА

и

Д«Ф dF / dF

AA дА

или

ДФ Г dF / д?

(JL) +(-21)

V дА, a Aa ' dAf а, Э а» (—)

\ дАt a, P / ,р

(8.3.19)

(8.3.20)

(8.3.21)

Г dF / dF \ 1

Вспомним в связи с этим несколько непоследовательные обозначения, принятые в формулировке принципа экстремума действия и при выводе теоремы Нётер, которые теперь легко отождествить с последовательно введенными обозначениями:

причем определения (8.3.21), (8.3.22) и (8.3.24) несколько отличаются от (8.3.11), (8.3.12) и (8.3.13), соответственно, в том отношении, что в последних рассматривалась лишь пространственно-подобная гиперповерхность, в то время как при выводе первых в формуле (8.3.19) фигурирует замкнутая гиперповерхность.

8.4. Дельта-функция Дирака и связанные с ней понятия

В связи с применением понятия плотности (заряда, массы и т. п.) к точечным частицам в физике (а в последние десятилетия и в математике) часто пользуются обобщением понятия функции — «распределениями» (этот термин физически очень естествен) или обобщенными функциями. Мы коснемся этого вопроса здесь весьма кратко, отсылая читателя к книгам Иваненко и Соколова (1951) и Шварца (1965). Из таких обобщенных функций наиболее широко используется в физике 6-функция Дирака1.

С самого начала следует подчеркнуть, что 6-функция — не функция в обычном смысле и что без операции интегрирования все соотношения, записанные с ее помощью, имеют чисто символический характер.

Одномерная 6-функция Дирака определяется требованиями

где а и P — любые положительные числа. Эти требования, однако, еще никак не фиксируют нечетной части 6-функции. Будем считать эту часть по определению равной нулю, т. е.

Принятое определение непосредственно приводит к следующим свойствам 6-функции:

(как и прежде, а и P — любые положительные числа) — может быть доказано из теоремы о среднем; поэтому можно сказать, что

6L 6/

(8.3.23)

ЬАв 6.4 л

и

6L Да/

(8.3.24)

6 А в, a AAb

X =0

х ф 0

(8.4.1)

и

(8.4.2)

—а

6(я)=6(-х).

(8.4.3)

а+Р

(8.4.4)

а—а

f(x)6(x — a) = f(a)6(x — а)\
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 141 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed