Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
7.3. О равенстве инертной и тяготеющей масс (квантовый вывод принципа эквивалентности Галилея — Этвёша — Эйнштейна)
В настоящее время принцип эквивалентности в общей теории относительности понимается по-разному 2. Мы будем говорить здесь о той форме принципа эквивалентности, которая имеет, по мнению автора, наиболее глубокий смысл — о принципе эквивалентности Ґалилея — Этвёша — Эйнштейна, о равенстве (пропорциональности с универсальным коэффициентом) инертной и тяготеющей масс. Как известно, впервые факт такой пропорциональности был фактически установлен Галилеем, обнаружившим равенство ускорений для всех свободно падающих тел (в поле тяжести Земли). Дальнейшие опыты Этвёша и Дикке подтвердили наблюдения Галилея с чрезвычайно высокой степенью точности (точнее, чем до KH1). Таким образом, этот факт можно считать твердо установленным и требо-
1 Cm. обзор Шкловского «Проблема мистериума» (1966, 1967).
2 Обзор различных формулировок принципа эквивалентности можно найти в сб. «Гра-
віітащїя и относительность» (1965), а также в монографиях Фока (1961) и Синга
(1963), где дан детальный критический разбор аспекта принципа эквивалентности,,
относящегося к «лифту Эйнштейна».
248
вать, чтобы всякая теория, претендующая на свое признание и описываю щая гравитацию, автоматически приводила к нему.
Говоря о квантовом выводе этого принципа эквивалентности, мы имеем в виду повторить квантово-полевыми методами тот вывод, который хорошо известен в «классической» общей теории относительности для пробных масс (уравнение геодезической), а также для тел конечной массы [проблема двух тел, рассмотренная в работах Эйнштейна — Инфельда — Гоффмана; см. также Гутман (1959); квантовый подход см. в статье Кимуры (1956)]. Принцип эквивалентности Галилея — Этвёша — Эйнштейна еще не был теоретически проанализирован с полевой точки зрения, и мы попытаемся восполнить этот пробел.
Так как в получаемых ниже результатах не фигурирует постоянная Планка Й, следует с необходимостью заключить, что полученный в этом параграфе вывод имеет универсальный классический смысл. Этот «вывод» нельзя считать чем-то неожиданным, так как квантовая теория при расчетах такого рода оперирует с функциями Грина, гарантирующими исдоль-зованце «правильных» решений уравнений поля. Эффект, который при этом изучается, в классическом пределе ^ представляет собой отклонение от прямолинейного пути частицы, движущейся по инерции в поле тяжести большой массы. Следовательно, нужно считать совершенно естественным тот факт, что, исходя из лагранжиана взаимодействия гравитационного и других полей и пользуясь представлением частиц как плоских волн (в том числе описывая таким образом до предельного перехода и рассеивающую частицу, которая после перехода превращается в шварцшильдовский центр), мы получаем в пределе информацию о решении Шварцшильда.
Эффекты рассеяния на классических полях в определенных случаях могут быть получены как Предельные случаи рассеяния частицы на частице. причем предельный переход состоит в стремлении массы одной из частиц к некоторому большому значению по сравнению с массой другой частицы; эта первая частица и «превращается» при этом в классический рассеивающий центр. В литературе такой предельный переход освещен крайне скупо; несколько слов об этом можно найти в монографии Боголюбова и Ширкова (1957, стр. 183), где, однако, по недоразумению указано, что классический предел получается при неограниченном увеличении интенсивности обычного квантованного поля — на самом деле, конечцо, необходимо увеличивать не интенсивность, например, электрического поля (заряда частицы), а ее инертность (массу-энергию) по сравнению с инертностью ее остающегося квантовым партнера, чтобы получить (в данном примере) рассеяние на классическом кулоновском ноле. Проверить это обстоятельство чрезвычайно просто.
Рассмотрим здесь подробно простой пример рассеяния двух скалярных частиц разных масс и затем приведем результаты расчетов также для других случаев. Итак, вводятся два скалярных поля, ^ и ф, кванты которых соответственно обладают массами покоя M и иг. Лагранжианы взаимодействия этих полей с гравитацией имеют вид
Рассеяние квантов этих двух скалярных полей друг на друге через гравитационное поле является процессом по крайней мере второго порядка и описывается тогда диаграммой на рис. 7. Перемножая лагранжианы (7.3.1) " и (7.3.2), производя спаривание по гравитационным переменным, а также выполняя интегрирование по 4-пространству (дважды, так как каждому
(7.3.1)
и
(7.3.2)
249
лагранжиану соответствует отдельная точка), получаем
F6(4)(p + q — г — s) =
ikб<4>(p + g —г —s)
4 (2л)2 ypogwo (p — r)2
X
/ m2 . \ / M2 \
X ^iiv PnrV ) ^ 6x,p <?>-spJ .
(7.3.3)
Расчет можно проводить как в лабораторной системе (масса M покоится до столкновения), так и в системе центра масс.
Рис. 7. Рассеяние частиц разных масс через виртуальный гравитон
Общая формула, по которой определяется сечение, имеет вид (2n)*pp0\F\2
