Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
1 Cm. также предисловие, где указана литература общего и учебного характера по теории гравитации.
2 Если не говорить о гипотетических флуктуациях кривизны, обусловленных квантовой природой гравитации в микромерё, то все же нельзя отбросить флуктуаций: кривизны, индуцированных квантовыми флуктуациями тензора энергии-импульссь других пбйей, етоящ&го W йравой *ш?ти уравнений Эйшйтёйна, Cm., !например» (Уилер, 1962) и § 6.2.
(8.2.2}
Ш
мый детерминат Det dax^ можно называть, следуя Уилеру (1965), симплексом.
Чтобы уменьшить на единицу число измерений многообразия, для которого строится элемент, возьмем
(индекс а считается фиксированным). Эта величина ортогональна всем CleXa1 кроме вектора с номером є = а. Она, очевидно, образует элемент объема 3-мерного многообразия которое, будучи дополнено вектором daXa, дает 4-мерный мир. Так как dax0 не входит в полученное 3-мерное многообразие, то dax? ~ Ua1 где па — 4-вектор нормали к X (па JL d&xy
Значок {«) здесь, как правило, отбрасывается. Обычно в качестве па берется временно-подобный вектор; тогда говорят, что AS11 — элемент пространственно-подобной гиперповерхности. Он записывается как
где dixa — 3 независимых пространственно-подобных 4-вектора, a Eijh —
3-мерный символ Леви-Чивиты, имеющий, строго говоря, отношение не к 3-мерному сечению мира, а к факту использования указанной тройки векторов. Фактически мы взяли здесь а = 0 и приравняли еоijk = Eijk-Локально всегда можно выбрать такую систему координат, чтобы временные компоненты всех трех векторов dixa обратились в нуль. В такой системе
{воimn — Bimn) в полной аналогии с определением элемента 4-мерного объема.
Уменьшим : еще на единицу размерность многообразия перейдем
Очевидно, что элемент da^ ортогонален как так и d$xG (индексы аир считаются фиксированными!).
Заметим, что от трчки к точке инфицитездмальные векторы daXa и dpx0, конечно, изменяются (хотя бы потому, что ковариантно постоянных векторов в искривленном мире не существует). Поэтому наши поверхности изменяют свою ориентацию от точки к точке.
Перейдем и здесь к 3-мерному случаю. Дщ этого следует взять один из векторов daxa или dftX® временно-подобным; пусть это будет daxa (а = 0). Кроме того, пусть P = 3, так что индексам у и б остается про-
(8.2.4)
dexx є Хз*\ &Фа).
Мы обозначим
Adj (dax^)=dS(^.
(8.2.5)
dS^ — — CijftGnvXp dtxv djX* dh3fi,
(8.2.6)
(dSp) = (dV, 0,0,0),
(8.2.7)
так как тогда
eivxp diXv djX% dkXp = 0; dV называют элементом 3-мерного объема. Очевидно,
(8.2.8)
(8.2.9)
(8.2.10')
271
бегать значения 1 и 2. В дальнейшем индексы аир аы престо не пишем:
1
(Liv :=:= "Г" daX** d^X^9 (8.2.11)
Li
где єаъ — 2-мерный символ Леви-Чивиты (а и Ъ = 1, 2). Переходя к системе координат, в которой ddXQ — dbofi — 0, можно записать
1
doOi = SabSijk da& db%^ =
I
= —- Gijk (dixi dzxk — d\xh dzxi) ss eijk d'jcl d%xk. (8.2.12)
CU
Итак,
daw = dsi, (8.2.13)
где ds — элемент обычной 2-мерной поверхности в 3-мерном мире, построенный на векторах djx и d2x, и его можно представить в 3-мерных векторных обозначениях как
ds = Id1Xd2X], (8.2.14)
потому что равенство С = [АВ] ЭКВИВалеНТНО С% — Qijh-AjBfi,
Наконец, выполняя еще одно дифференцирование, находим
Я I Ar \
= = eapvee^ d,xp. (8.2.15)
6 (OyXh)
В силу предположения о линейной независимости взятых первоначально четырех векторов dexa, индекс б у оставшегося вектора dtxP можно считать фиксированным (например, 6 = 3) и взять a = О, P = I, у = 2. Тогда, отбрасывая индексы а, {5, у и б, получаем
dX\aVA, == BjivAp dx&, (8.2.16)
или, что то же,
1
dxр = —- Єдолр dX\i\я. (8.2.17)
о
Полученные соотношения поясняют применение интегральных операций в § 2.3. Эаметам, что с их помощью легко проанализировать; например, и выражение (2.3.20), имея в виду использование в нем гиперповерхности не со временно-, а с пространственно-подобной нормалью.
Рассмотрим трансформационные свойства полученных элементов. Как известно,
(dx')=J{dx). (8.2.18)
Этот закон можно получить и непосредственно из (8.2.3), так как дх'і*
dax'» = —— da^a,
dxG
/ дх'Р \ / дх'\
(,dxf) = Det ^ J = Det ^ -- g - j Det (da#*) = J (dx). (8.2.19)
В свою очередь,
./^ d(dx') d(deXa) d
Аналогично можно вывести закон преобразования
<8-2-22>
Наконец, вспоминая, что в силу (1.35)
1 „
SjivAp — ~~ Ецуїр, (8.2.23)
1-g
на основании трансформационных свойств Evk^ находим
, дх® дх8 блЯ
= J-^vi dx,v дх,% dx^. (8.2.24)
Мы видим, что полученные здесь элементы являются ковариантными аксиальными тензорными плотностями веса (—1) и, соответственно, рангов 0,1, 2 и 3.
Приведем теперь без доказательства интегральные теоремы типа Гаусса — Стокса;
5 Ql1li(Ite)= § QtdSlh (8.2.25)
Q 2
1 Q*v dSp = LL § Qnv d(T|4V> (8.2.26)
2 0
S Q Xх = 4- §' Qlivjt = 4 ^ Q,lXv d*P (8-2-27)
0 L L
(см. также ряд интегральных соотношений у Схоутена (1965), стр. 172, 173,179,180)*
