Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
8. НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
8.1. Сводка основных соотношений тензорного анализа
Для удобства читателей мы приведем здесь определения некоторых основных величин тензорного исчисления и соотношения, которым они подчиняются.
В начале локально геодезической системы координат метрический тензор можно представить в виде таблицы
Def „
(St(Iv)O = (^iw) = л л л г\ • (8.1.1)
Дифференциал его детерминанта равен
dg = gg^dgv.v = —ggv.^gv-\ (8.1.2)
где контравариантный метрический тензор может быть определен как
1 0 0 0
0 — 1 0 0
0 0 — 1 0
0 0 0 — 1
_ dln|g|
dg
(8.1.3)
(8.1.4)
При этом компоненты смешанной вариантности метрического тензора образуют символ Кронекера:
10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1 (в любой системе координат).
Обозначая частную производную с помощью запяюй перед соответствующим индексом,
дАв Ла>*=д?' определим символы Кристоффеля II рода как
(8.1.5)
IVv = — а, V + gav, їх — g\iv, а) .
Свернув символ Кристоффеля ПО двум индексам, получим
(8.1.6)
IVv = — In у—g.
OX^
В свою очередь,
(У-g g^v) ,V= -I-gTa і
(8.1.7)
(8.1.8)
268
Символы Кристоффеля служат для определения ковариантйых производных, обозначаемых с помощью точки с запятой перед соответствующим Яндексом:
АВ; ц. = Ав, їх + &в (8.1.9)
Здесь использованы коэффициенты преобразования величин Ab (в их число могут входить любые тензоры и тензорные плотности)
8АВ = Ab'(x') — Ав(х) = ав (8.1.10)
лри инфинитезимальных преобразованиях координат 1
= х» + (8.1.11)
Альтернирование ковариантных производных приводит к тензору кривизны Римана — Кристоффеля:
11 а
А Б; M-; V-A B-t V H= UB I R,% uv? (8.1.12)
причем
R .0U = + Г&ъ - rirtv. (8.1.13)
axv дх%
Свертка этого тензора является тензором кривизны Риччи,
R^iv = R* |iva = Rvtif (8.1.14)
а последующая свертка приводит к скалярной кривизне
R = Rv^ (8.1.15)
Тензор Римана — Кристоффеля, благодаря своим алгебраическим свойствам
RiivKq= RviiXp = Rp.vрА, = (8.1.16)
И
¦RnvA«p8vXp(T = 0, (8.1.17)
обладает лишь 20 независимыми и отличными от нуля компонентами (в 4-мерном мире). Кроме того, он подчиняется дифференциальным тождествам Бианки
R^ р-Я^« = 0. (8.1.18)
Сформулируем также критерий тензорных свойств в достаточно общем виде. Пусть имеется равенство
Мвс№ ^ рв^ (8.1.19)
где величины N и P преобразуются по законам
ЬРв = РЕ-рев\]-1ал-, = (8.1.20)
причем HafiectHo, что величина Nc — произвольная из класса преобразующихся по этому закону величин. Рассматривая теперь закон преобразования произведения (8.1.19), находим из (8.1.20):
бMbcNo = Nc J мЕср *| ^ - Мвнпс j р т, (8.1.21)
1 Бесконечная малость вектора часто подчеркивается введением в качестве множителя при нем инфинитезимального параметра.
269
откуда в силу произвольности Nc следует, что величина МВс преобразуется по закону
DE JT
Шве = MdeTii вс а|,т, (8.1.22)
где
DE IT DlT ElX
“вс I. = ^ U4Ojt-llC I „«в- <8'‘-23>
Так можно определить свойства не только тензоров, но и многих других: величин (теорема поддается широкому обобщению).
Некоторые сведения из римановой геометрии можно найти во введении, а также по ходу вычислений в других разделах; некоторые специфические математические вопросы освещены далее в этом разделе *.
8.2. Элементы объема многообразий. Интегрирование по многообразиям
Мы приведем здесь основные сведения, относящиеся к интегрированию* по многообразиям (4-объемам и гиперповерхностям различного числа измерений), для простоты не обращаясь к теории Зельманова (§ 8.9). Элемент 4-мерного объема обычно записывают в форме
(dx) = dx°dxldx2dx?, (8.2.1)
где под dxP, dx4, dcfi и dx? понимаются независимые дифференциалы, не образующие вместе определенного воктора dxа относящиеся фактически к-разным dax». В произвольной системе координат явно тензорным образом: (dx) можно записать в виде
(dx) = ецу^оХ^х^хЫгхР.
Переходя к daxJa, получаем отсюда
1
(dx) = — 8aPv56|iv>4) datfP d$Xv dvXX dt>xV = Det daX(8.2.3)
Из этой записи (dx) видно, что (dx) Ф 0 тогда и только тогда, когда (отличные от нуля) daxлинейно независимы. Тот факт, что никакой системе* реальных событий не соответствует такой отличный от нуля 5-мерный детерминант, показывает 4-мерный характер нашего мира. Однако это касается лищь бесконечно малых областей; если взять 5-мёрный DetdaXfl для: конечных приращений, мы можем практически получить не нуль в силу^ искривленности мира, если эти приращения достаточно велики. Так как в микромире действуют квантовые законы с флуктуациями, затрагивающими и кривизну 2 и неограниченно (насколько мы знаем) растущими по мери уменьшения размеров областей, то становится неясным, показывает Jiw опыт, дающий отличный от нуля 4-мерный Det в макромире, истинную 4-мерность мира, или же это вторичный эффект, обязанный некоем^ слЬйсйому (квантовому) искривлению более элементарного мира с меньшим числом измерений. Аналогично, в сверхмакроскопических (космологических). масштабах естественно ожидать эффектов, феноменологически поддающихся описанию в пространстве пяти и более измерений. Обсуждае-
