Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
(M)I02Mmx
(Р + іг)Ц(1-к)* + іг)
(берется его предельное значение при к-*-к'). Тогда, полагая
b(™*>
-oe^ lo2pbdpdhdlo
0 (Iq2 — р2 — Із2 -f" Іє)2 (Io2 -Ь 2IcqIq — р2 2&/з + іб)
(7.6.32)
из соображений симметрии в цилиндрических координатах можно записать /1111 _ /2222 _ _ /?
8 (7.6.33)
/1122 _ /2211 _ /1212 — /2121 _ _ /
8 ’
Все остальные компоненты обращаются в нуль. Первоначально интегрирование проводится с помощью теоремы о вычетах. Так как интеграл расходится при больших импульсах, мы будем его обрывать на некотором максимальном импульсе L. Вычисления дают
/=-25-1-?.+-?• + *!!-?*-2wT1*! M4Pkf+-и.+
2ц3 L 6 5 4 12 450
4feo2+|i2 / T 9 9\ ^O2 +И2
30
Ii5 In (L2 + ц2) — —^ — ц5 In \х J . (7.6.34)
Для оценки эффективного сечения мы ограничимся лишь той частью матрицы рассеяния, которая отвечает процессам, проходящим с сохранением спина в промежуточных состояниях. Тогда, при к « к' рассматриваемая часть матричного элемента равна
3
&2 -I--U2
* НЧ’П Ш Чк°-Ы) 4 ::
2 v ’ 48(2л)4 Ao (к — к')8 (к-к')*- ц*
X Z4e“veap6M«6vP. (7.6.35)
Рассмотрим случай ненулевой массы покоя скалярных частиц и вычислим типичный для него элемент ^-матрицы:
Т(АВ) = к*т* ^ T^\(^y(x)tf(x) — -^y*y(x)<ffi <j>,v(z)) :Х
265
X ;Ф2(У)(^^(У)УіМу) —^г/(у)у(ї/)) :] (dx)(dy).
(^)(z„2+t)
¦ J . ..... .. X
A4Tn2Af 8(k0 — ко)
= ~ 8(2я)6 Ло(к —k'j* J (m2 -12 - is) (и*»-— (I + к — Л')2-*є)
X e®veap6^6vP. (7.6.36)
При этом, в отличие от предыдущих случаев, автоматически обращаются в нуль члены, соответствующие графикам с несохранением спина в виртуальных состояниях. Вновь, полагая в подынтегральном выражении к « к' и обрывая интеграл на максимальном импульсе L, получаем
™ ітркШ 6(feo — ко) r a /b
І(ЛВ) - 32-(2-7). fe,(k - kГ ” «» »* (7 6'37)
Для более наглядного сравнения полученных результатов и выводов, сделанных выше относительно эффекта прямого рассеяния частиц на поле Шварцшильда (§ 7.1), вычислим теперь эффективные сечения рассматриваемых процессов. Обозначая, как обычно, через 0 угол между исходным и конечным направлениями распространения гравитона, получаем для матричного элемента (7.6.35) з
4 ктт
do =---------
3(8я)6
ц2 + J- к2
0
[х2 + 4 к2 sin2 —
dQ
(7.6.38)
0’
A4 sin4------
2
а для элемента (7.6.37) —
4 IfiM2In^IA dQ
da —------- —~ —•-------------------------------------------------------—. (7.6.39)
(8я)6 № Sin4V2
Здесь, как всегда, произведено усреднение по поляризациям гравитонов в начальном состоянии и суммирование по поляризациям гравитонов — в конечном. В этих формулах мы сохранили введенную выше эффективную вакуумную «массу» гравитона.
Прежде всего отметим, что угловая зависимость полученных сечений при малых углах 0 аналогична зависимости, типичной для сечений прямого рассеяния частиц на поле Шварцшильда* Поэтому в принципе возможно сравнение этих эффектов^
Заметим теперь, что сечения (7.6.38) и (7.6.39) расходятся при малых импульсах гравитонов. Таким образом, в области больших длин волн они доминируют над эффектом, обязанным классической нелинейности. Критическая длина волны, при которой оба эффекта становятся равны, конечно, зависит от максимального импульса й тем меньше, чем больше L:
wVjW1--S^ <7-6-40)
для сечения (7.6.38) в пределе 0-^0; тогда классическая нелинейность будет сказываться вообще слабее, чем квантовая, если
уз
< JL 10-31 ?,4 г2 (7.6.41)
.266
IB случае сечения (7.6.39)
^p=f^r Vt- (7-6-42)
.Для удобства здесь используется система CGS.
Обратим внимание на то обстоятельство, что расходимость сечений рассеяния на поле Шварцшильда при малых импульсах является характерным свойством всех частиц с ненулевой массой покоя (§ 7.1). Это соображение ввиду аналогичной расходимости сечений (7.6.38) и (7.6.39) согласуется с выводами, касавшимися космологического члена вакуумного происхождения, и, в частности, с введением эффективной «массы» гравитона \i. Эту массу можно непосредственно оценить путем сравнения полученных здесь сечений, скажем, с сечением рассеяния спинорных частиц на поле Шварцшильда. Такое сравнение удобно произвести в пределе малых углов 0. Тогда для рассеяния через виртуальные скалярные частицы без массы покоя получим
к— « 3 • IO-17I2 г (7.6.43)
УЗ 4яс ^hc
ж через виртуальные мезоны (т Ф 0) — кпгЬ
JLi =----Tlir ^ 10-*mL г. (7.6.44)
4 яУЯс
'Оценивая импульс мезона по радиусу нуклона, получаем для массы гравитона в обоих случаях величину, меньшую IO-40 г. В этом случае вакуумная нелинейность в гравитационном поле должна сказываться лишь при весьма значительных длинах волн гравитонов. С другой стороны, определяя «массу» гравитона через посредство космологической постоянной (7.6.21), получаем
ji = й/8яс2То* (7.6.45)
Необходимо подчеркнуть, что проведенное обрывание интегралов, строго говоря, незаконно, и дает лишь грубую оценку того эффекта, который должен существовать в действительности, так как расходимость этих интегралов является весьма сильной, и они чувствительны к выбору предела обрезания. Возможно, что при больших импульсах следует учесть (в духе теории Гейзенберга) переход состояний в нефизическую область (расщепление гильбертова пространства), что влечет за собой своеобразную регуляризацию теории. Однако эти вопросы выходят за рамки данной книги и всецело относятся к области квантовой теории поля.
