Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
(/и2 — A2 — ie) I- т2 — (г + s+ ^)2—te
gTegCT© gTCофсте
СГТ,}- <7-5-9)
то2 — (g + s + ft)2 — ie пг2 — (<? + г + ft)2 “
Рассмотрим первый интеграл,
Jfl = 5 (ritft) • (то2 — ft2 — ie)-1- (т2 — (г + s + ft)2— ге)-1, (7.5.10)
и введем обозначение
Яр, = Гц -|- 5ц. (7.5.11)
Интегрирование по временной компоненте ко легко проводится с помощью теоремы о вычетах и дает
/а==/1 + /2, (7.5.12)
где
h = ____________________________________ (7513)
а к2 + т2 + ft#2 + т2 cos 0
/2 = ^ dQdk sin 0ft2(ft2 + a2 + 2ка cos 0 + то2)-,/а X
CL
X (й + ft cos 0 + yft2 + л2 + 2fta cos 0 + to2) 1. (7.5.14)
Сначала рассмотрим здесь первый интеграл. После интегрирования по 0 он приводится к простому виду
h = — $---------------------In У +т +| , (7.5.15)
а у к2 + то2 yft2 + то2 — к
пПс kdk Vft2 + то2 +,ft
— \ In—---------------,
a J у к2 + то2 yft2 + то2 — к
а прн 8амене х2 == ft2 + т2 переписывается как
JffcT ------ . ... ....... ¦...
h — — ) dx\n[(z + ix* — т2)/(х — іх2—т*)]х (7.5.16)
после чего легко берется по частям. Здесь, однако, возникает расходимость, хотя и довольно «слабая», так что приходится обрывать интегрирование на «максимальном импульсе» виртуальных мезонов к = L. Оставляя лишь главный член, получаем
Jt = -Lln-. (7.5.17)
а то '
2S8
Второй интеграл вызывает некоторые затруднения, так как после интегрирования по углу 0 под знаком логарифма оказывается довольно сложг ное выражение. Однако, ограничиваясь главным членом в додынтетральг ном выражении, легко находим:
/2 = -Lln-. (7.5.18)
а т
Итак, матричный элемент процесса дробления фотона можно представить в виде
L
3 iekL In —
F =
т( 6ат6юе , б, баєб™ \
----------1-----------1----------- , (7.5.19)
\ Г С п J- .С п Л- Г J
а его квадрат — в виде L
9е8?21п2-
IFl. = ,________?/ * + 1 +______— +
A(2n)spqrs \ (г + s)2 (?-|-s)2 (<7 + г)2
+ -¦ 1 .—+_________________і_______+_______1-------
(r + *)(g + «) (r+s)(g + r) (gr-f s) (g-+ г)
). (7.5.20)
Число частиц, получающихся при дроблении фотонов в единице объема 4-пространства, записывается стандартным образом:
dN = —— |F|*6W(p — q — г — s) (PqcPrd3S, (7.5.21)
2 2 л
или, после интегрирования по 3-импульсу s:
dN = -І- fF12б (р0 — q0 — го — s0) d3qd?r. (7.5.22)
Можно, однако, имея в виду формальное равенство
$ б (Po — qo — Г0 — S0) dr = 1, (7.5.23)
провести еще одно «интегрирование», получив
dN=J- l^l2^rHQr. (7.5.24)
4я
Все проделанные только ч;го операции должны вызывать серьезные сомнения, так как они чисто формальны и фактически игнорируют факт коллинеарности импульсов всех частиц (7.5.3) * Такая коллинеарность имеет несколько следствий: уже в (7.5*22) выражение, стоящее под знаком
б-функции, должно быть тождественно равно нулю за счет остальных ком* понент б-функции при предыдущем интегрировании; импульсные объемы d3q и d3r должны равняться нулю (отсутствие фазового пространства!), так как рассеяние происходит строго в одном направлении. Ввиду этих обстоятельств требуется дальнейший анализ процесса дробления частиц, тем более, что с подобными ситуациями, иногда приходится сталкиваться в теории твердого тела (фонойы), ж там противоречия не возникают.
Процесс дробления квантов может иметь космологическое значение, как отметил Пийр (1957). Именно поэтому мы рассмотрели последний процесс, не включавший гравитационного поля. Дело в том, что дробление фо-
17* 259
тонов, если оно может происходить, должно приводить к уменьшению энергии отдельных квантов без какого-либо «размазывания» пучков, т. е. должно наблюдаться красное смещение, пропорциональное расстоянию до источника фотонов. Автор не склонен отказываться от существующих космологических объяснений наблюдаемого эффекта Хаббла (расширяющаяся Вселенная), но считает необходимым указать на возможные конкурирующие процессы, дающие вклад в этот эффект.
Здесь следует, однако, учесть то обстоятельство, что фотон, распространяющийся с фундаментальной скоростью 1, не должен «ощущать» течения времени, так как его «собственное» время постоянно. Этот аргумент несколько формален, так как можно построить релятивистски инвариантную теорию, в которой скорость самопроизвольного распада фотона будет зависеть от выбора системы отсчета соответственно тому, чему будет равен его импульс (частота) в этой системе. Такая самосогласованная теория, по-видимому, может показать, что этот «парадокс», в сущности, не ведет к противоречиям.
Заметим теперь, что дальнейшее интегрирование fc (7.5.24) по q можно проводить лишь до максимального значения #, равного р; этот процесс обладает, однако, максимальной (даже расходящейся, если говорить формально) вероятностью, так что наиболее вероятным оказывается дробление с «выходом» чрезвычайно длинноволновых фотонов, т. е. при таком дроблении длина волны исходного кванта почти целиком передается одному из вторичных. Таким образом, происходит постепенное «таяние» фотона, как это и наблюдается в «космологическом» красном смещении.
