Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
do =
т
Го
S
So
1
dq0
-dQ.
дро
В лабораторной системе эта формула принимает вид (2n)2r0p0q0p\F\2
da L =
(r0 + M—
Рог
dQ,
cos 0
а в системе центра масс (2n)2poqdroSoP
dec
)
Is0T-ros| (r0 + s0) так как в лабораторной системе ., Qqo го +M рог
дро qo qop а в системе центра масс
cos 0,
^=1+^=-(Г.+«).
дро qo qo
(7.3.4)
(7.3.5)
(7.3.6)
(7.3.7)
(7.3.8)
Матричный элемент матрицы рассеяния в этих системах отсчета соответственно принимает вид
ikz M2 (т2 — 2роГо)
и
Fc =
8(2л)2 ^Par0Mq0(prcos0 + m2 — p0r0)
Tti2Mi + 2р2 ? т2 + Mz + 2 (р2 + Potfo) cos2 J'
ik2
16(2п)2
(7.3.9)
(7.3.10)
PoqoPi sin -Jj-
250
так что дифференциальное сечение рассеяния друг на друге скалярных частиц с массами т и M через виртуальный квант гравитационного поля равно в лабораторной системе
-fry»)?Q_____________ (7.з.И)
do с =
/ го PqT \
(16я)2г(т2 — PorO + PrCOS 0)2^ 1 +^"-----------^~C0S®J
ме центра масс
Г Г т2 2 0 I l2
Af4A4jто2 + 2р2 1 + — + — (р2 + РоЧо) cos2 у J | сШ
I Г s
(32я)2 — — — I г0 S0
0
(Го + So) PogoP3 Sia4 Y
(7.3.12)
Предельный переход, о котором мы говорили, соответствует принятию M>r0,m, (7.3.13)
и в конечном итоге дает сечение рассеяния [ср. (7.1.14)]
( TO2 \2
VM* (р*—г)
dab-^dac^—------------------------dQ, (7.3.14)
(16я) . , .6
P4sm4 —
одно и то же для принятых вначале разных систем отсчета, так как при сильном доминировании одной массы над другой большая масса как до, так и после столкновения оказывается (практически) покоящейся. Пріг проведении такого предельного перехода удобно заранее учесть, что произ -водная
д дао
стоящая в выражении для сечения (7.3.4), стремится к единице.
Другой процесс такого же рода представляет собой рассеяние фотона на скалярной частице через виртуальный гравитон. В этом случае лагранжиан (7.3.1) следует комбинировать с лагранжианом взаимодействия электромагнитного и гравитационного полей:
Lem = — ^VnvPeeSpv ( Y бгаеб“'1 ~ 26^lt) • (7.3.15)
Расчеты вполне аналогичны проведенным выше, следует лишь произвести усреднение по поляризации входящих фотонов и суммирование по поляризации рассеянных. Квадрат модуля матричного элемента матрицы рассеяния оказывается в этом случае равным
2ft4 m2 [ро (г»)- S0 (pr) -r0(ps)]2 ,,Oitfi,
|?| “lew--------------‘Ш>
или, иначе,
0
Sft4Tn3Ctg4-
= <73',7>
(использована лабораторная система, в которой скалярная частица до столкновения покоилась). Дифференциальное сечение этого процесса рас-
251
сеяния равно
g
kkmr ctg4 — dQ
da =---------ї----------------------, (7.3.18)
/,* ч, Л , r~ 5CosO \
(16я)2ро5I H---------------J
а предельный переход дает знакомое из § 7.1 сечение рассеяния фотона на поле Шварцшильда:
№тг 0
da^—TiK тг ctS4T (7.3.19)
(16я)2 2
При этом, так как масса покоя фотона равна нулю, предел берется в смысле неравенства
т s, г. (7.3.20)
7.4. Фотон-гравитонные аннигиляции пар
и обменный комптон-эффект
В этом параграфе мы рассмотрим эффекты, связаннее с появлением свободных гравитонов при участии фермионных частиц. Расчеты этих эффектов были выполнены Ю. С. Владимировым (19636). Прежде всего отметим три возможности аннигиляции пары частица — античастица: возможны двухфотонная, фотон-гравитонная и двухгравитонная аннигиляции (первый и третий случаи соответствуют суммарному спину системы, равному нулю; второй случай аналогичен трехфотонной аннигиляции и требует суммарного спина системы двух фермионов, равного единице).
Двухгравитонная аннигиляция (а также чисто гравитационный комптон-эффект) описывается графиками на рис. 9—11 (рис. 8 соответствует, очевидно, процессу двухфотонной аннигиляции пары). Соответствующая часть матрицы рассеяния записывается тогда в виде
s = i\ (dx)b(x) — -^-T^(dx)(dy)b(x)b(y), (7.4.1)
где первое слагаемое соответствует рис. 10, а второе — двум другим графикам. Конкретизируя (7.4.1), матрицу рассеяния можно записать как
S = і $ (da?)L4(*)-!¦ Г J (dx) (?fy)[L2a + L2bp, (7.4.2)
где взяты части лагранжиана взаимодействия фермионного и гравитационного полей L2a и L4, соответственно линейные и квадратичные по гравитационным операторам, и лагранжиай взаимодействия гравитационного поля самого с собой (6.6.27) ?2ь, кубичный Ho этим операторам. В дальнейшем проводится хронологическое свертывание части входящих в (7.4.2)
252
Рис. 8. Обычная двухфотонная диаграмма
Рис. 9. Двухгравитонный аналог предыдущей диаграммы
Рис. 10. Нелинейная двухграви- Рис. 11. Нелинейная двухгравитонная диаграмма для S-матри- тонная диаграмма для S-матрицы 1-го порядка цы 2-го порядка
операторов, приводящее к тому, что свободными остаются лишь два фермионных и два гравитонных оператора. Все остальные члены, возникающие в полном выражении такого спаривания, автоматически обращаются в нуль при взятии матричного элемента и поэтому нас не интересуют.
Рассматривая двухгравитонную аннигиляцию пары (например, элек-трон-позитронной), мы должны выбрать начальную и конечную амплитуды состояния на основании (6.5.10), (6.5.11), (6.5.56) и (6.5.57), а также
