Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
<т21)
которое здесь для простоты приведено для случая т = 0.
Подобный же расчет был проведен в случае учета вакуума электромагнитного поля (Мицкевич, 1959в). Электромагнитный лагранжиан для про-
262
стоты брался в виде
L = - (7.6.22)
ил
и вычисления, вполне аналогичные только что проведенным, дали для вакуумного лагранжиана гравитационного поля выражение
(7ЛШ)
То
откуда следует величина космологической постоянной вакуумного электромагнитного происхождения
(7-б'24)
Полученные вакуумные добавки к лагранжиану гравитационного поля приводят в уравнениях гравитации лишь к линейным относительно метрического тензора поправкам; однако линейность является кажущейся, ибо как guv, так и входящий в лагранжиан множитель У — g разлагаются в бесконечные ряды по степеням константы к, и соответствующие члены разложения содержат произведения все возрастающего числа гравитационных переменных.
Как мы видели в § 7.1, массовый член должен сказываться на рассеянии частиц полем Шварцшильда. Ввиду того обстоятельства, что космологический член до некоторой степени аналогичен массовому члену в уравнении Клейна — Гордона [критику такой его интерпретации можно найти у Гекманна (1942) и Мицкевича (1962а)], можно заключить, что из добавков (7.6.20) и (7.6.23) следует дополнительный вакуумный нелинейный эффект при рассеянии гравитонов. Здесь, однако, возникают существенные трудности, в основном сводящиеся к тому, что представление взаимодействия, обычно предполагая выключение нелинейности в уравнениях гравитации (как и всякого взаимодействия вообще), опирается на теорию слабого поля, которое несовместимо с точной классической картиной при наличии космологического добавка (слабое поле должно быть слабым сразу повсюду) . Мы не будем поэтому настаивать на полной последовательности этих рассуждений, считая их лишь эвристической догадкой, которая поможет при вычислении последующих эффектов. Именно, мы будем добавлять при этих расчетах в гриниан гравитационного аіоля эффективную массу гравитона [і. Такой шаг не может, конечно, разрешить указанных противоречий, но будет полезен с практической точки зрения.
Простейшие процессы рассеяния гравитона на статическом поле Шварцшильда через посредство виртуальных квантов скалярного поля описываются матрицей рассеяния третьего порядка
s3 = -t{ab + yA3 + yA4:)- (7-6<25)
Через А ж В здесь обозначены интегралы по 4-мерному объему соответственно от членов, пропорциональных к и к2 в лагранжиане скалярного поля, а С — такой же интеграл от члена, пропорционального к в лагранжиане взаимодействия гравитонов с гравитонами.
Для простоты вычислим сначала полный матричный элемент в случае нулевой массы покоя скалярных квантов (В = 0). Тогда
(^3)0=-^-^(-1^ + ^). (7.6.26)
263
Второе хронологическое произведение записывается как
Г(LsT (X)L^t (y)L™ (z)) =
d2D0c (х — у) S1Doc Iх — у) -----1 int
= - ** ¦¦ IT wit W :. (7.6.27)
где оставлены лишь члены, дающие ненулевые вклады в матричный элемент и не указана операция интегрирования. При учете уравнений нулевого порядка для гравитации, спаривание в (7.6.27) можно привести к простому виду:
(у) Lft (Z)=- гА:| д Dq Jdzl ^ [VfV Е — Y УУ^№ —
I I dDc(u — z) Г
— VmVx96* + — уах уOX б“Рбчг + .-г---- Уц°УаК о - У^У, о б“Р -
Z J OZri L
— У<?У°\ К6Р — У^У^, ?6“S + УагУа\ тб“Р — УааУ^, ф^ — У^Уаа, ф^ ~
+
+ ?><= (у — z) г/%«Р, л? — уму, л?б“Р + УахУох, пгб^Р +
111
H-j У, аУ, х6аа№ + — У, аУ, т6<"6аР + — У°х, пУах, фа*№ +
4 о Z
I 1
+ -J уах, 1\Уох, г6^б“Р - у™, xyV\ а + _ у°\ ^yl тб“Р -
— У™, rd, Ф* - Y уСф> чУ> ]} (7-6-28)
(величины в квадратных скобках 'зависят только от z). Теперь берется матричный элемент от величины (7.6.27) между состояниями, в каждом из которых находится по одному свободному гравитону, и трижды интегрируется по всему 4-пространству. После довольно громоздких вычислений получаем:
$ (dx) (dy) (dz)(I)^Ls1Ct (я)Ls1^t (г/)L^t (Z)Oi =
AW б (A0 — A0') г (dl) (dm) I0Hak
113 — Y yafiyI ^rit +—уу, Фа&№ +—уах Уох, Фаь№
~ Ко ) Г (сії) (ат) IozLaIfi ^
— h'\2 J /72 J- го\ /m2_1_ jc\ ( /7 _|_ m\2— ,,2 I jc\
4(2я)6 A0(k — k')2 J (Z2 + ie)(OT2_|_je)((z + m)2_^2+ je)
X ^A'aA'P + AaAP — AaA'P + y k<yk'c6a& 'j e?v e% 6vp +
+ 2AaA/,Je?velp6ta6v<x6ppJ б<4>(Z + m — A + A') —
—A0WvZaZP ец“еар[6<«(/ + m + A) + fi(*)(J + m — A7)] J. (7.6.29)
В этом матричном элементе бросается в глаза необычный тип расходимости двух последних членов, возникающей ввиду присутствия в них функций типа 6<4)(Z + m ± к): происходит тождественное обращение в нуль знаменателя. Отметим, вместе с тем, что именно эти члены [как и член A3 в (7.6.25) ] дают несохранение спина в виртуальных состояниях.
264
Первое хронологическое произведение в матрице (7.6.26) легко приво^ дится к виду
_ ,, Ziki-M 6(к0 — к0')
T (Az\ =____________ —У-І— у
1 > 2(2я)9 fto(k-k')2
Г___________(M)WWfie &е?
J (Z2 -h гв) ((г — *)2'+ ЇЄ) ((г — Ar + ^)2 + * К ¦ ¦ ;
Соответствующий график также дает несохранение спина в виртуальных состояниях; из всех выражений, не дающих такого сохранения, мы приведем в проинтегрированном виде лишь это последнее. Выделим из (7.6.30) интеграл
