Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
(6.7.4), (6.7.44), (6.7.86) и (6.7.96) в форме
Фі — da (р)ат (ч)Фуас?
= фуаст]Ьй) (г) Ье (s).
Вычисления проводятся в системе центра масс частиц, т. е. когда
Po = qo = Го = So,
P = — q; г = — в;
(7.4.3)
(7.4.4)
(7.4.5)
Эти вычисления довольно громоздки и не содержат ничего нового так что мы их здесь опускаем. Укажем лишь, что матричный элемент ^-матрицы для указанных начального и конечного состояний оказывается равным (Владимиров, 19636)
Of1SfOi = FaiSGx (rspq) S(p + q — r—s),
(7.4.6)
где
ik2
^aj(P)X
32(2я)2(гр) (SP)Po3 X {— rayae^velv(pr)2(ps) — 2rayaPo24ael^pap^(ps) + 2Po2(pr) (ps) X
X + W (Pr) (Ps)eIaeIwaP^ 4p04^a3faYP^vP^v +
+ Po^eeme^yaphvyv (pr) (ps) + 2po46|ivP|AYveapPaYPrxYX +
+ Apo2m(pr) (ps)e^ve^v}vT~(q). (7.4.7)
Взяв квадрат модуля этого матричного элемента, можно определить дифференциальное сечение рассеяния по формуле (см. § 6.9):
da = i2nPo3^1 \F\zdQ.
4 р
(7.4.8)
4 Аналогичные выкладки в применении к обычной двухфотонной аннигиляции можно найти, например, в монографии Боголюбова и Ширкова (1957), как и в любом курсе квантовой электродинамики.
253
Дальнейшие вычисления дают A4
da — ¦
128 (4я) 2PP0
? р2т2 cos2 0 + р4 sin2 0 +
I P8 sin8 0
+ 2р4 sin2 0 cos2 0 + — (т2 — р2 sin2 0)2
(т2 + р2 sin2 0)2
3P2Tnk cos2 0 + Jn2P2(т2 — р2 sin2 0)
-JdQ. (7.4.9)
m2 + р2 sin2 0
В нерелятивистском пределе, когда ко2 ~ тп2^> р2, эта формула принимает вид
= (7.4.10)
(64я)2 и
так что получающиеся при аннигиляции гравитоны разлетаются в произвольных взаимно противоположных направлениях. Сечение в этом случае не зависит от энергии частиц.
В ультрарелятивистском пределе, когда р2 ~ ко2 >> тп2, получим, в свою очередь:
da оо — г (3 sin2 20 + 2sin40)dQ, (7.4.11)
2 (64л;)2
и при 0 = 0' дифференциальное сечение обращается в нуль, т. е. в направлениях Движения исходных частиц гравитоны не вылетают; само сечение в ультрарелятивистском пределе квадратично по энергиям аннигилирующих частиц. Напомним, что при двухфотонной аннигиляции сечение обратна пропорционально квадрату энергии (включая ультрарелятивистский случай) . Тогда отношение этих сечений будет равно
V 2 / Пл \4г пл-1-І
* (JL)V Гь-Л-Г, (7.4.12).
02Y V Тещ/ Kmc2J L mc2J
где rg и 7еш — соответственно гравитационныи и электромагнитный радиусы аннигилирующих частиц. Это отношение при энергиях
Pokp- (7.4.13)
оказывается равным единице, а при больших энергиях двухгравитонная аннигиляция доминирует над двухфотонной. Однако это происходит при фантастических энергиях,
Po кр ~ IO21Wc2, (7.4.14)
если рассматривать аннигиляцию электрон-позитронной пары; следует заметить, что в этих условиях нельзя говорить о применимости теории возмущений.
Очевидно, большие возможности для эксперимента должна представлять фотон-гравитонная аннигиляция пары (рис. 12—14), когда система обладает спином 1. При этом расчеты несколько проще, чем в предыдущем случае, и дают для дифференциального сечения выражение
da =
е2к2 р3 sin2 0
(16л;)2 Po(Po2-P2Cos2O) sin2 0 (Po2 — 2р2 sin2 0)
Po2 — P2 COS2 0
254
¦J dQ. (7.4.15)
Рис. 12. Фотон-гравитонная диаграмма, аналог рис. 8 и 9
Рис. 13. Нелинейная фотон-гра-витонная диаграмма для S-матрицы 1-го порядка
Рис. 14. Нелинейная фотон-гравитонная диаграмма для S-матрицы 2-го порядка
В нерелятивистском приближении (р2<Щ ко2 ~ та2) это сечение принимает вид
doо =
е2к2
16(4я;):
* sin2 0 (1 + 2 sin2 0) dQ,
Po3
(7.4.16)
откуда видно, что продукты аннигиляции летят поперек направления движения исходных компонент пары. В ультрарелятивистском же случае (т2<^ р2 ~ к2) получим
da оо =
е2к2
(16л;)
Xl + cos2 0)dQ;
(8.4.17)
здесь отсутствует зависимость от энергии исходных частиц, а излучение преобладает в направлении их движения.
Интегральное сечение в этом последнем случае оказывается равным
aVg —
JemVg
48я
0,3-10-^ см2,
(7.4.18)
т. е. такое насыщение сечения происходит в области, крайне далекой от доступной наблюдениям.
Интересен тот факт, что овсе три сечения o2g, agy и O2V становятся примерно равными при критической энергии (7.4.13), а при меньших энергиях сечение фотон-гравитонной аннигиляции оказывается больше сечения двухгравитонной аннигиляции.
Представляет интерес рассмотреть обменный комптон-эффект, при котором фотон, сталкиваясь с заряженной частицей, поглощается ею, а взамен испускается свободный гравитон. По константе гравитационного взаимодействия такой процесс относится к эффектам низшего возможного порядка наравне с эффектами, рассмотренными в начале этой главы. Он описывается теми же графиками, что и процесс фотон-гравитационной аннигиляции. Матричный элемент ^-матрицы при этом равен
F =------ ----Уа+> (р) {--------{— 2(gr)e“vg^veaeY“ +
8 (2я) Wo
4- (qr) CaYxsPYpeM^SrtlYv + 2(gs) (qv + ґ>) еД^еаеда +
255
(7.4.19)
Можно показать (Владимиров, 1963а, б), что в обменномкомптон-эффекте главную роль играют лишь первый и третий члены в первых квадратных скобках формулы (7.4.19), так что остальными членами можно пренебречь. Тогда сечение может быть приближенно представлено в виде
