Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
(8.4.5)
1 Cm. дальнейшее обобщение 6-функции в книге Инфальда и Плебаньского (1962). 276
путем замены деременнои интегрирования получаем, кроме того,
1
6 (ах)=— &(х). (8.4.6)
\а\
Из соотношения (8.4.4) следует равенство (символическое)
х8(х)= 0. (8.4.7)
Если 6-функция зависит от х через посредство какой-либо знакопеременной функции /(#), то
s(/(*)) =2 -ГЩ- > (8-4.8)
dx I
где производную df / dx, естественно, можно взять сразу в точке х = хг; точки хг определяются равенствами
f (Xr)= о (8.4.9)
(хг — корни последнего уравнения). Доказательство этого соотношения основывается на замене переменной при интегрировании:
б (f)df
b(f(x))dx = -^—-. (8.4.10)
dx
Ненулевой результат получается лишь при (каждом) / = 0, но произведение б (f)df дает +1 лишь при df> 0; в противном же случае будет
получаться множитель — 1. Поэтому производная (df I dx) приобретает
знак модуля.
Из соотношения (8.4.8) вновь следует, что
б (ах)= ~ Ь(х). (8.4.11)
I а\
Кроме того, отсюда же
»(*—)+»(f.±?L, (8.4.12)
2 а
что, в свою очередь, приводит к следствию [см. (8.4.5)]
І а: І б (ж2)= б (ж). (8.4.13)
Полезно ввести ступенчатую функцию 0 (х):
1, х > 0 х < 0 ’
ew=U
(8.4.14)
из которой можно построить симметричную ступеньку:
в(*)-Є(-*)=ї(х)={+5; (8.4.15)
Дифференцирование ступенчатой функции может цроизводиться лишь символически, но все же можно записать
б(х), (8.4.16)
dx
277
поскольку такая форма производной обладает всеми требуемыми свойствами б-функции. Заметим, что производная б-функции соответствует
-----(8.4.17)
(для доказательства следует произвести интегрирование по частям). Вообще, если мы имеем разрывную функцию
(F(x)-\-A, ж = а +є
*=А <8-4Л8)
скачок которой равен
А/ = f(a + в) - f(a - є) = A9 (8.4.19)
то ее можно представить как сумму непрерывной и ступенчатой функций: f(x) = F(x) + А -0(ж — а). (8.4.20)
Дифференцирование такой суммы, очевидно, дает df(x) dF(x)
dx dx
+ Ab (x —a). (8.4.21)
Если при этом разрыв имеет и производная исследуемой функции, то в производную войдет и ступенчатая функция, обязанная этому нарушению гладкости.
При вещественной переменной х теория функций комплексного переменного дает соотношение
In X = In I ? I + in (1 — 0 (#)). (8.4.22)
Тогда, так как
dln\x\ 1
dx х3
мы получим для производной логарифмической функции d In х 1
- = --М<*). (8.4.24)
Укажем (без доказательства) следующие представления б-функции в виде пределов соответствующих функциональных последовательностей:
(8.4.23)
1 а 6(*)=-Iim-— л а-*-о а2 + X2 (8.4.25)
ЦХ) =IlimJbVLt П q-*~oo X (8.4.26)
,, х I ,. sin2qx 6 (х) =—Iim —. П д-мхэ QK (8.4.27)
Рассмотрим интеграл
I I ? I sin Qx
— J е1чх dq = — ^ cos qx dq = + ——-—. (8,4.28)
n-Q Я о
Очевидно, что в пределе Q оо он дает б-функцию, согласно формуле
(8.4.26). Поэтому фурье-представление б-функции удобно ваписать как
278
I I
Ь(х) = —~ ^ e*9* dg = — ^ cos qx dq. (8.4*29)
лЗТ 3X
—оо O
Вместе с этим, фурье-представления ступенчатых функций (8.4.14) и (8.4.15) имеет вид
I "V*0 е^х da
9W=^7S-T (^-30)
2ni J q — ie
—оо ¦*
И
I "^*90
Y (ж)=—P J1-------------------dq, (8.4.31)
где символ P означает взятие главного значения интеграла. Напомним, что в формулах (8.4.25) — (8.4.27) предельный переход следует совершать уже после интегрирования.
Обычная трехмерная б-функция определяется в декартовых координатах, как произведение трех одномерных б-функций, относящихся к соответствующим пространственным координатам:
b(r)=6(x)b(y)b(z), (8.4.32)
так что
J/(r)fi(r-a)&> = /(a), (8.4.33)
V
если точка, характеризуемая радиус-вектором а, лежит внутри объема интегрирования V; в противном случае интеграл будет равен нулю. Примером применения трехмерной 6-функции может служить выражение для плотности заряда точечной частицы:
p(M)=g-6(r-a(0), (8.4.34)
где a (J) — радиус-вектор точки, в которой в момент времени t находится частица.
Совершенно аналогичным образом вводится 4-мерная б-функция:
64 (х) = 6 (ж°) 6 (Xі) б (х2) б (я3). (8.4.35)
Она дол:жна обладать свойствами скалярной плотности, так как
J б4(х) (dx) = I =inv. (8.4.36)
Фурье-представления этих функций имеют вид
4(,)—(8.4.37)
И
6<"w=W1S ^ J <8А38>
причем
(dq) = dq° dq1 dq2 dq3 (8.4.39)
и
в<4)(*) = *(*>(—*) (8.4.40)
(использованы декартовы координаты!).
279
Трехмерная б-функция, очевидно, нековарианта хотя бы уже потому, что интегрирование по трехмерному объему является специальным случаем интегрирования по пространственно-подобной гиперповерхности. Поэтому следует ввести 4-компонентную б-функцию бц(я), обладающую свойством
и являющуюся, таким образом, величиной типа контравариантной векторной плотности. Ее «направление», как 4-вектора, очевидно, можно принять совпадающим с направлением нормали к гиперповерхности:
В том случае, когда берется гиперплоскость, нормаль которой направлена (в плоском мире) по оси времени, мы получаем трехмерную б-функцию как временную компоненту б^я):
