Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
х\Х)=х^ — CT + gx (г)Xk (Xі—ст)/с2.
(9.170)
Система S (г) в точке P — геодезическая. Заменяя в (9.170) т на (т + dx), получаем преобразование, приводящее к системе S(t+dt) координат (x\x+dx)), геодезической в точке P' с координатами хр¦ = б?с(т + dx). Вычитая из полученных формул преобразования соотношения (9.170) и пренебрегая величинами второго порядка малости по di, находим, что
*(T+dt)— *№ = — gtl(dx/c)(xi—cx) + g^dx(xi — cxf!2c2\ I ,
Xі {x+d C) — X4 (T) = — cdi — gx dr Xх I с + giL (dxx k/c2) (Xі — ct) . j
Теперь, если рассматривать лишь точки вблизи P или Pr, величины
Xі — Xp= (X1\ Xі — ст) (9.172)
можно считать малыми первого порядка. Тогда с помощью (9.170) уравнения (9.171) можно записать в виде
х\т + dx)=xfX) (VilZc)X(X) + O2; I
xfr+dx) = — cdx-\-x\х) —VvX(X)Zc + O2- I
Здесь через O2 мы обозначили совокупность членов второго порядка малости и положили:
v* = vtl = gfLix)dT. (9.174)
С точностью до малых второго порядка соотношения между локальными ло-
о о
ренцевыми системами S{x+dr) и Seo даются инфинитезимальными преобразованиями Лоренца без вращения, причем V^ — (инфинитезимальная) скорость начала системы Rix+dx) относительно S(t)IcM. (4.128), (4.129)]. Постоянная — с<іт представляет собой расстояние между началами временных осей систем Siх) и Scc+*). Поскольку при любом t — т пространственные координатные кривые, проходящие через начало О системы R, совпадают с соответствующими кривыми в S(T), система отсчета R является корректным релятивистским обобщением ньютоновской невращающейся системы отсчета.
Поэтому мы можем предположить, что точечный компас (типа рассмотренного в § 2.8), расположенный в начале О системы R, все время показывает одно и то же направление относительно координатных осей в R. Физически такой компас можно реализовать с помощью гироскопа, помещенного в начале 0 так, чтобы в S он не подвергался действию крутящего момента. Показываемое компасом направление описывается пространственноподобным вектором с постоянными компонентами
е? = (е<\0); etleil = eile!x=l. (9.175)
Компоненты этого вектора в исходной системе S являются функциями от т, определяемыми формулами (9.159):
&¦ (т) = ai ек = e\v) (т) е vJ \
Их изменение в зависимости от времени определяется уравнениями (9.157), которые с учетом (9.176) и (9.160) дают
del (т)1йт = -Cljl4V) ev—с'2 U1 (gvev) = — сГ{4У) + c-2 Ui A1 el. (9.177)
Следовательно, единичный вектор el, описывающий/направление гироскопа, прецессирует в системе 5. Эта прецессия (9.177) состоит из двух частей. Вторая часть, являющаяся 4-вектором
(йег/сЬ:)Т0Мас =с-2 Ui A1 elt (9.178)
представляет собой общерелятивистскую форму прецессии Томаса (4.147). Первая часть
(delf йт)ф0КМр - сГ (4V) е1 = —с Г ^ 4 V) ev, (9.178')
очевидно, не 4-вектор, но она описывает реальный эффект, присутствующий даже в случае свободного падения частицы. Впервые этот эффект корректно рассмотрен Фоккером [95], и поэтому назван прецессией Фоккера. (В § 12.1 мы дадим детальное исследование этого эффекта для одного частного случая.)
Для свободно падающей частицы, мировая линия С которой является геодезической, 4-ускорение Ai равно нулю. Тогда и gv — 0, а перенос (9.153),
(9.152) тетрады е\ь.> является параллельным переносом. В этом случае преобразование (9.155) приводит к системе координат Xі— Xі, которая для всех точек кривой С будет локально лоренцевой.
§ 9.10. Тензорный анализ. Ковариантное дифференцирование
Как и в случае плоского псевдоевклидова пространства СТО, мы говорим
о тензорном (псевдотензорном) поле ранга п в общем римановом пространстве, если с каждой точкой в этом пространстве связан тензор (псевдотензор) ранга п. Как и в § 4.16, из такого поля дифференцированием можно получить новое тензорное поле ранга (п + 1). Из тензорного поля нулевого ранга, т. е. из скалярного поля
ср' (х') = ф (х), (9.179)
можно таким образом получить векторное поле grad ф с ковариантными компонентами
gradi ф = д(р/дх1. (9.180)
Тогда с помощью (9.10) и (9.179) получим
ду'/дх4 = (dq>/dxk) (dxk[dxn) — ctf dyldxk, (9.181)
откуда следует, что дц>Idxi — действительно ковариантиые компоненты вектора.
Однако если мы попытаемся таким способом из векторного поля а1 образовать тензорное поле ранга 2 дифференцированием формул преобразования (9.15), то получим
да1 Jdxk — a1 da\ldx k + а\ dal/dxm. (9.182)
Отсюда видно, что dalldxk являются смешанными компонентами тензора только тогда, когда коэффициенты постоянные. С другой стороны, из формулы Кристоффеля (9.80) и соотношений (9.11), (9.14) и (9.120) следует
Tl а" - (—да]/дх'к+ а' а І Г,г,) а1. (9.183)
Складывая (9.182) и (9.183), находим, что величины
a‘k = da1/Oxk+ TLar (9.184)
238
преобразуются по закону:
Таким образом, с помощью операции ковариантного дифференцирования <(9.184) контравариантных компонент вектора мы получаем смешанные компоненты тензорного поля второго ранга.
Эту операцию геометрически можно описать следующим образом. Пусть ё (P) и а1 (P') — два вектора некоторого векторного поля в двух близких точках P и P' с координатами (х1) и (Xі + dx1). Разности da1 = а1(Р') — —a1 (P) = dxkda‘/dxk не могут быть компонентами вектора, поскольку а1 (P) и Ui(P ) относятся к двум разным точкам. Однако если а*1 (Р‘) — вектор, полученный параллельным переносом а‘ из точки P в точку P', то разность а1(Р') —
