Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
(R • klmi п "I- R • ктп; I “f~ R*• knl; т) ^i (R * klm &1; п 4" R- kmn &i; I 4~" R^- knl &і; ttt) •
(9.235)
Каждое выражение в круглых скобках в левой части (9.235) можно преобразовать с помощью формулы (9.231), примененной к тензорам а/г; t, ak-t т, ak; п соответственно. При этом получим шесть величин, три из которых взаимно сокращаются с учетом (9.2346), а оставшиеся три сокращаются попарно с величинами во второй скобке в правой части (9.235). В результате имеем
(R • klm; п 4“ R • kmn; I R • knl; т) = 0*
Поскольку это равенство справедливо для произвольного векторного поля at, приходим к тождествам Бианки
Rt-klm; п jT R1-Iimn-. I 4" R^knl; т — 0* (9.236)
С учетом тождеств (9.234) число алгебраических независимых компонент тензора кривизны равно 20 в четырехмерном пространстве, 6 в трехмерном и 1 в двухмерном пространстве. •
245
§ 9.14. Свертки тензора кривизны
Свертка тензора Rtklm четвертого ранга является тензором второго ранга, который с учетом (9.234а) может быть записан в нескольких формах:
Rik~ Rr- irk = — Rr- ikr — — R\¦ rk = Rrk.і — Rr. kri- (9.237)
Отсюда очевидно, что этот свернутый тензор кривизны симметричен, т. е.
Rih-Rhi- (9.238)
Последующей сверткой тензора Rih получим скалярную кривизну
R = Rl^gikRik. (9.239)
Свертывая тождества Бианки (9.236) по индексам і и I и используя соотношения (9.237) и (9.234а), имеем Rhm- п + Rt-Umn- t — Rkn-, т = 0 или Rm-, п — Rk‘mn-, і — Rn-,m = 0. Последующее свертывание по А и т дает R;n —
— 2 Rn-,h — 0. Умножая эту формулу на gin и используя (9.192) и правило ковариантного дифференцирования произведения, получаем
(Rik-gikRl 2):fc = 0. (9.240)
Это уравнение показывает, что ковариантная дивергенция симметрического' тензора
Rik_gik $/2 (9.241).
равна нулю. Этот тензор имеет лишь 10 независимых компонент.
Из (9.237), (9.227) и (9.128) получим следующие явные выражения для Rih:
Rik = дГ1и1дхк—OT1ikIdtf + ГГ,Г[г-П* it ^дЧп VYgHdxi дх*-
— OT1ikIdx1 + Th T1kr-Trik d In Hg IIdxr. (9.242)
§ 9.15. Специальные системы координат в конечной области пространства—времени
В § 9.6 было показано, что всегда можно ввести такие локальные системи координат S (P) или 5 (P), в которых метрический тензор в произвольной точке P или даже в малой окрестности P имеет частную релятивистскую форму. Кроме того, в § 9.9 мы видели, что можно выбрать также систему S1 в которой gik имеет заданную величину в окрестности любой заданной времени подобной кривой. Исследуем теперь возможность развития этой идеи до глобального уровня или, по крайней мере, на конечную область пространства — времени. Поскольку общее координатное преобразование
х'1 = IHxk) (9.243)
содержит четыре произвольные функции, то интуиция подсказывает, что всегда можно найти такие системы S', в которых g[k (х') удовлетворяет четырем специальным независимым условиям. Эти условия могут иметь форму дифференциальных уравнений, первого порядка или же выражать определенные требования к четырем из десяти функций g'ik (х').
В § 8.13 мы видели, что некоторые из условий последнего типа накладываются с помощью обыкновенных калибровочных преобразований. Например, чисто временное преобразование (8.120), которое означает, что координатные часы в S' являются стандартными часами, приводит к тому, что
= Х' = 0. (9.244)
246
С другой стороны, в § 8.13 было показано также, что в общем случае нельзя калибровочным преобразованием все компоненты векторного потенциала обратить в нуль. Это возможно только тогда, когда пространственный тензор вращения COiiv везде равен нулю.
Однако в случае общих преобразований (9.243) мы можем определить бесчисленное множество систем S', в которых
g»4=gi» = 0; Yi = I- (9.245)
Проще всего это демонстрируется с помощью следующих геометрических рас-суждений. Заметим прежде всего, что из (9.245) имеем
Sf"*4 = 0; ?'"=!§:,> (9.246)
S'" Su = gM -?- (9.247)
Кроме того, вследствие (9.245) и (9.246) система S' времениортогональна; это означает, что мировые линии точек системы отсчета R', т. е. временные линии
A^ji = Const, (9.248)
везде ортогональны гиперповерхностям
f4(x)= л;'4.—const. (9.249)
Поэтому любой линейный элемент dx4 = (dx/ft, 0), лежащий в касательной
плоскости к гиперповерхности (9.249) в точке Р, ортогонален линейному эле-
менту Ьхч = (0, 0, 0, Sx'4), направленному по касательной к кривой (9.248), !Проходящей через точку Р.
Теперь можно следующим образом сконструировать систему S' типа (9.245), (9.246). Выберем произвольную функцию /4 (х) так, чтобы она удовлетворяла единственному условию
gim (dji/dx1) ¦ (QfiIdxm) = (gradj f4) (gradz /4) < 0. (9.250)
Тогда уравнения (9.249) при всех возможных значениях постоянных х'А определяют в 4-пространстве семейство пространственноподобных поверхностей
2. Теперь построим кривые N, нормальные к этому семейству. Они образуют трехпараметрическое семейство времен и подобных кривых N, поскольку вектор dx1, касательный к кривой N, проходящей через некоторую точку (х), пропорционален grad* f (х), являющемуся в соответствии с (9.250) времениподоб-ным вектором. Если кривые N не пересекаются, то через каждую точку 4-пространства проходят лишь одна поверхность 2 и одна кривая N. Каждая поверхность’2 определяется постоянным значением хг4 в (9.249). Аналогично кривые N, составляющие трехпараметрическое семейство нормальных кривых, характеризуются тремя произвольными непрерывными параметрами х,fi. Следовательно, каждая точка P в 4-пространстве характеризуется четырьмя числами (x'i\ Xri), соответствующими кривой N и поверхности 2, проходящим через эту точку. Таким образом, мы получили систему S' координат (х‘), которая является времениортогональной системой типа (9.245). Если несколько кривых ^ пересекаются, то точки пересечения являются сингулярными точками системы S', но вне конечной окрестности этих точек система S' — регулярная. В,последующем изложении мы часто будем использовать такие системы ввиду упрощений, возникающих благодаря отсутствию в них векторного потенциала.
