Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
(9.137) и соответствующих формул для Ь1 имеем
Dal blldX = DaJdX b! + at Db1IdX = 0.
Следовательно, в каждой точке P кривой С тетрада е[а) (P)f удовлетворяющая соотношениям (9.81), (9.84), (9.86), получается параллельным переносом из точки О на С^вдоль этой кривой тетрады е\а> (О).
Однако Ферми [89] и Уолкер [262] указали, что параллельный перенос не является единственным переносом, обладающим таким важным свойством. Для времениподобных кривых (таких, как мировые линии произвольно движущихся частиц) в качестве параметра X можно выбрать собственное время т. Тогда Ui будет 4-скоростью частицы. В этом случае говорят, что вектор а* (т) подвергается переносу Ферми — Уолкера вдоль С, если он удовлетворяет следующим уравнениям:
DaiIdT = Wlh a7i; Da1Idx = Wik а*. (9.138)
232
Здесь Wik — антисимметрический тензор:
W* = — WM = с-2 (U1 Ak-Uk Ai); A1 =
(9.139)
который полностью определяется формой кривой или движением частицы. Ai в (9.139) представляет собой 4-ускорение, которое в локальной лоренцевой системе сводится к соответствующей величине в СТО (§ 4.5).
В соответствии с (4.41) 4-скорость удовлетворяет инвариантному соотношению
т. е, вдоль мировой линии С 4-скорость Ui претерпевает перенос Ферми — Уолкера. Легко видеть, что этот вид переноса, как и параллельный перенос, оставляет неизменным скалярное произведение двух векторов а1 (т) и (т), так как из (9.135), (9.138) и (9.139) следует, что
da і bl!dx = ? DaiZdr+Oi DbiIdx = Wn a1 bl -j- at Wil bt —
= (Ii^fc+ Wkl) at bk = 0.
Таким образом, из тетрады ew (О) в точке О на кривой С с помощью переноса Ферми — Уолкера получим тетраду elw (P) в любой точке P этой кривой. Такая процедура на кривой С дает возможность получить частный тип тетрадного поля, обладающего тем свойством, что если вектор e‘(i) (О) в точке О параллелен 4-скорости, то это будет выполняться и на всей кривой С. Поэтому для этого тетрадного поля во всех точках на С имеем
Если С — мировая линия свободно падающей частицы, то это геодезическая, для которой справедливо уравнение (9.136) при X = т. Тогда в (9.139) тензор Wtk обращается в нуль, а уравнения (9.138) совпадут с (9.137). В этом'случае перенос Ферми—Уолкера— просто параллельный перенос. Таким образом, различие между обоими видами переноса проявляется лишь при Ai =DUiIdx, отличном от нуля, т. е. когда частица подвергается также действию и негравитационных сил, например электромагнитных сил.
§ 9.9. Локальные жесткие невращающиеся системы отсчета с произвольно движущимся началом. Прецессия Фоквера
Теперь попытаемся для общего случая искривленного пространства—времени найти систему координат (Xі), являющихся обобщением координат, введенных в § 8.15. При рассмотрении плоского пространства — времени мы начинали с системы действительных лоренцевых координат (ЛГ*). В этих коорди-
Ut Ui=-C2,
которое после дифференцирования и с использования* (9.134) дает DUi UiZdx = Ui DUlZdx + Ui DUiIdx = 2Ui DUiIdx = 0
(9.140)
или
(9.142)
(9.141)
?(4)= UiZc, CtwUi- 0; W1Kewk = C-* Ui (AkeWk).
(9.143)
Следовательно,
= <?(«>* = с-2 Ui (Ak ew *);
QX
a= I, 2, 3.
(9.144)
233
натах движение частицы описывается ее мировой линией С с параметрическим представлением:
*' = /'(т); dXljdT = Ji (T) = Ui (т)\ Ai = DUiIdTt (9.145)
а преобразование к новым координатам х1 = (х, у, z, ct) дается формулами
(8.152), которые в вещественном представлении имеют вид
Х1 = р(т)-\-Aik(T) хк. ¦ (9.146)
V •
Здесь Ak (т) — коэффициенты преобразования Лоренца от системы (Xі) к мгновенной инерциальной системе покоя частицы. Это преобразование определяется как результат последовательных инфинитезимальных преобразований Лоренца без вращения. Следовательно, коэффициенты Л* должны удовлетворять уравнениям (4.139), (4.140), которые в вещественном представлении принимают форму
dAi/dv = A1k [U1 Ui — U1U t) I с* = Wil AU унк = с-2 (UiAk-AiUk).
Здесь Wik — компоненты тензора (9.139) в лоренцевой системе координат. Если выразить в соответствии с (9.28) Ak через компоненты тетрады e[k) (т) — -A1k (т), то получаются следующие уравнения для перемещения тетрады вдоль С:
deUj dr = W^e1w, (9.148)
которые совпадают с уравнениями (9.138), (9.139) для случая плоского пространства с лоренцевой системой координат. Следовательно, вдоль С тетрады e\k) претерпевают перенос Ферми — Уолкера.
В системе S с координатами (х1), определяемыми формулой (9.146), частица все время покоится в начале ^ = O координат соответствующей системы отсчета R, а временная координата t совпадает с собственным временем т частицы. В S метрика определяется соотношениями (8.154), (8.155). В малой окрестности начала координат, где можно пренебречь величинами второго порядка относительно (Xv-), метрика принимает вид
SiJl = Ilifc-Si4 6*4 2gb (0 (9.149)
где g% (Ї) — функции только от t. Они равны пространственным компонентам 4-ускорения А і (т) частицы в системе S, которые даются формулами
Ai(X)=Af Ak = ek{i)Ak. (9.150)